dedik174: BAGIAN 4

TEORI INTEGRAL DAN PENERAPANNYA

DALAM BISNIS DAN EKONOMI

Tujuan Umum

Mempelajari Jenis Integral baik integral Tak Tentu maupun Integral Tertentu serta mempelajari kaidah-kaidah dari masing-masing jenis integral.

Tutjuan Khusus

Integral digunakan dalam encari suatu fungsi asalnya jika diketahui fungsi turunannya.Ini merupakan penerapan Integral Tidak Tentu.

Integral juga digunakan dalam menghitung Surplus Konsumen dan Surplus Produsen dengan cara menghitung luas di bawah kurva. Ini merupakan penerapan Integral tertentu.

PENDAHULUAN

Pada dasarnya integral terdiri atas dua jenis yang dikenal dengan integral tak tentu dan integral tentu.

INTEGRAL TAK TENTU

Integral tak tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan perincian fungsi asal atau fungsi totalnya dari fungsi turunannya yang diketahui secara umum penulisannya:

Dengan

: konstanta pengintegral yang tak tentu nilainya

: integral

: diferensial

: fungsi asal atau fungsi total

Disebut sebagai integral tak tentu akibat hasil pengintegralannya berupa F(x)+ K dimana K adalah konstanta yang nilainnya tak tentu.

KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL TAK TENTU

Kaidah 1. formula pangkat

contoh :

Kaidah 2. formula logaritma

contoh :

Kaidah 3. formula eksponensial

contoh :

Kaidah 4. formulasi penjumlahan

contoh :

Kaidah 5. formulasi pengurangan

contoh :

Kaidah 6. formula perkalian

contoh :

Kaidah 7. formula substitusi

contoh:

misalkan

maka

contoh :

misalkan :

maka

Kaidah 8. formula sebagian-sebagian

Contoh :

Misalkan

maka

dan

maka

Integral Tentu

Integral tentu adalah integral dimana nilai dari variabel bebasnya memiliki batasan-batasan tertentu. Integral tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan pencarian luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva serta batasan-batasan nilai yang membatasi dengan tepat area yang dimaksud. Secara umum penulisannya:

dengan:

: integral

terhadap

wilayah untuk rentang

hingga

: hasil integral fungsi

antara

dan

: batas atas integrasi

: batas bawah integrasi

Kaidah-Kaidah Integral Tentu

Kaidah 1. a b f(x) dx = F(x) a b =F(b)-F(a) , a<c<b

Contoh: 2 4 x2 dx = x2+1 2 4 = 4 2+1 – 2 2+1

2+1 2+1 2+1

= 4 3 – 2 3

3 3

= 56

Kaidah 2. a a f(x) dx = F(x) a a = F(a) – F(a) = 0

contoh: 2 2 x2 dx = 2 2 x2 dx = 2 3 – 2 3 = 0

3 3

kaidah 3. a b f(x) dx = - b a f(x) dx

contoh: 2 4 x2 dx = - 4 2 x2 dx

2 4 x2 dx = x2+1 2 4 = 4 2+1- 2 2+1

2+1 2+1 2+1

= 4 3 – 2 3

3 3

x2+1 4 2 = 2 2+1- 4 2+1

2+1 2+1 2+1

= 2 3 - 4 3

3 3

= 56

kaidah 4. a b k f(x) dx = k a b f(x) dx

contoh: 2 4 6x2 dx = 6.2 4 x2 dx

= 6. x3 2 4

= 6. 4 2 – 6. 2 2

3 3

= 2.64 – 2.8

= 8

kaidah 5. a b [f(x)+g(x)] dx = a b f(x) dx+a b g(x) dx

contoh: 2 4 [6x2+4x] dx = 2 4 6.x2 dx+2 4 4x dx

= 6. x3 2 [4 + 4x2 2]4

= 2. 4 3 – 6. 2 3 + 4.4 2 – 4. 2 2

3 3

= 2 . 64 – 2.4 + 4 . 16 – 4 . 4

= 125 – 16 + 64 – 16

= 160

kaidah 6. a b [f(x) – g(x)] dx = a b f(x) dx – a b g(x) dx

contoh: 2 4 [6x2 – 4x] dx = 2 4 6.x2 dx – 2 4 4x dx

= 6.x3 2 4 – 4x2 2 4

= [6.4 3 – 6.2 3] – [4.4 2 – 4.2 2]

3 3

= [2.64 – 2.48] – [4.16 – 4.4]

= 128 – 16 – 64 + 16

= 64

kaidah 7. a b [f(x) + c d f(x) dx = a d f(x) dx

contoh: 2 3 4x dx + 3 3 4x dx = 2 4 4x dx

2 3 4x dx + 3 4 4x dx = 4x2 2 3 + 4x2 3 4

2 2

= 4.3 2 – 4.2 2 + 4.4 2 - 4.3 2

2 2 2 2

= 4/2.9 – 4/2 . 4 + 4/2 . 16 – 4/2.9

= 18 – 8 + 32 – 18

= 24

2 4 4x dx = 4 . x2 4 2

= 4 . 4 2 – 4 . 2 2

2 2

= 4 . 16 – 4/2 . 4

= 32 – 8

= 24

PENYELESAIAN SOAL-SOAL

Kaidah 1. formula pangkat

Contoh:

x⁸ dx = x ^{8 + 1}

8+1

= x9

= 1/9 x9

contoh:

x⁸ dx = x ⁸⁺¹ 2 ⁴

8+1

= 4 ⁹ – 2 ⁹

9 9

Kaidah 2. formula logaritma

Contoh: = 33

= 33 . In x + k

Contoh:

33 dx = 33 2 4 1 dx = 33 . In x 2 4 = 33(In4 – In2)

Kaidah 3. formula eksponensial

Contoh: ex dx = ex + k

Contoh: 2 4 ex dx = ex 2 4 = e4 – e2 = -e4 –e2

Kaidah 4. formula penjumlahan

Contoh: [x17 + e x+2] dx = x17 dx + e x+2 dx

= 1/18 x18 2 4 + e x+2 + k

contoh: 2 4[x17 + e x+2] dx = 2 4 x17 dx + 2 4 e x+2 2 4

= 1/18 x18 2 4 + ex+2 2 4

= 1/18 [4 18 – 2 18] + e4+2 – e2+2

= 1/18 [4 18 – 2 18

PENERAPAN INTEGRAL DALAM BISNIS DAN EKONOMI

PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI

Dalam bidang ekonomi, Integral tak tentu dapat dipergunakan di antaranya untuk mencari persamaan fungsi total, sedangkan Integral tertentu diantaranya digunakan untuk mencari Surplus Konsumen dan Surplus Produsen

FUNGSI TOTAL

Jika yang diketahui adalah persamaan fungsi total, maka untuk mengetahui persamaan fungsi marginal digunakan perhitungan diferensial. Sebaliknya, jika yang diketahui adalah persamaan fungsi marginal, maka mencari persamaan fungsi totalnya dipergunakan hitungan Integral.

Contoh :

Fungsi Total Revenue (TR) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi marginal revenuenya :
Fungsi Total Cost (TC) dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi marginal Costnya :

Fungsi Total Utility (TU) dapat diperoleh dengan cara mengintergralkan fungsi marginal utilitynya :

Contoh Soal :

Carilah Fungsi Total Revenue sebesar

Jika berproduksi pada Q = 25

Jawab :

Misalkan U = 14+2Q maka dU = 2dQ Dan dQ = ½ dU

Sehingga:

Jadi total revenue-nya pada Q = 25 diperoleh sebesar 1/32

Surplus Konsumen

Yaitu : Keuntungan lebih (surplus)yang dinikmati oleh konsumen karna konsumen tersebut dapat membeli barang dengan harga pasar yang lebih murah daripada harga yang sanggup dibayarnya.(Kesanggupan bayar > harga).jika permintaan suatu barang dinyatakan dengan persamaan P= f (Qd)dan ternyata bahwa harga barang tersebutdipasar sebesar Pe, maka bagi setiap konsumen yang pada dasarnya memiliki keinginan untuk membeli barang tersebut dan memiliki kesanggupan untuk membeli barang tersebut walaupun harganya diatas Pe dinyatakan bahwa konsumen tersebut mengalami keuntungan. Bpk Alfreed Marshall menyebutnya surplus konsumen.surplus konsumen tersebut dapat dihitung dengan menggambarkan fungsi permintaanya serta menghitung luas area di bawah kurva yang bersangkutantetapi diatas harga pasar Pe.

Penggambaran :

Surplus konsumen (SK)

0 Qe Q' Q

Surplus konsumen = Luas daerah yang diarsir ; dihitung dengan rumus

Atau

Contoh soal:

Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut : Qd = 75 – 3P ²

gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik Qd vs P !

carilah surplus konsumenya jika harga pasar Pe = 2

Jawab :

Qd = 75 – 3P ²

Qe = 75 – 3.2 ²

Qe = 75 – 3.4

Qe = 75 – 12

Qe = 63

Jadi (Pe,Qe) = (2,63)

Fungsi Qd = 75 – 3P ²merupakan kurva parabola yang terbuka di bawah dengan titik puncaknya (P,Qd) = (0,75).penggunaan grafiknya :

Surplus konsuemen

0 2 5 P

= 125 – 125 + 8

= 8

SURPLUS PRODUSEN

Yaitu : keuntungan lebih (surplus)yang dinikmati oleh produsen karena produsen tersebut dapat menjual barang dengan harga lebih tinggi daripada harga yang sanggup dijualnya.(kesanggupan menjual < harga pasar)

Jika fungsi penawaran suatu barang dinyatakan dengan persamaan P = f(Qs) dan ternyata bahwa harga barang tersebut dipasar sebesar Pe, maka bagi setiap produsen yang pada dasarnya ingin menawarkan barang tersebut serta memiliki kesanggupan untuk menjual barang tersebut di atas harga pasar Pe dinyatakan bahwa produsen tersebut mengalami keuntungan.Bapak Alfred Marshall menyebutnya surplus produsen.surplus produsen tersebut dapat dihitung dengan menggambarkan fungsi penawaranya serta menghitung luas area diatas kurva yang bersangkutan tetapi di atas harga pasar Pe

Penggambaran : P

Pe E(Qe,Pe)

Surplus Produsen

P¹

0 Qe Q

surplus produsen = Luas daerah yang diarsir ; dihitung dengan rumus :

atau

Contoh soal:

Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs

gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik P vs Q !

carilah surplus produsenya untuk harga pasar sebesar 40.

Jawab:

Fungsi penawaranya

P = 20 +5Qs

P – 20 = 5Qs

5Qs = P – 20

Qs = 1/5 P – 20/5

Qs = 1/5 P – 4

Diketahui bahwa harga keseimbangan pasar adalah 40, maka

Untuk Pe = 40

Qe = 1/5P – 4

Qe = 1/5.40 – 4

Qe = 8 – 4

Qe = 4

Jadi (Pe,Qe) = (40,4)

Penggambaran grafiknya

Pe = 20 – 5Qs

Pe = 40

Surplus Produsen

P¹¹= 20

0 4 Qs

Daerah yang diarsir menunjukkan surplus produsen yaitu keuntungan yang diperoleh akibat harga dipasar di atas (lebih tinggi)dari kesanggupan menjual.

Perhitungan mencari surplus produsen sebagai berikut.

Surplus produsen :

atau

PENYELESAIAN SOAL – SOAL

Fungsi total

1. carilah fungsi total revenue dari fungsi marginal revenue : MR = Q²e^Q,dengan Q adalahjulah output yang diproduksi dan di jual.

Jawab:

Misalkan U = Q² Sehingga dU = 2Q.dQ

Dan dV = e^Q.dQ Sehingga V = e^Q

Maka dengan rumus :

Diperoleh :

Misalkan U = Q Sehingga dU = dQ

Dan dV = e^Q.dQ Sehingga V = e^Q

Maka dengan rumus :

Diperoleh :

Jadi fungsi Total Revenue :

Surplus konsumen

2. Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang masing – masing ditunjukan dengan fungsi sebagai berikut : Qd = 30 – 2P dan Qs = – 6 + P

Hitunglah surplus konsumenya!

Jawab:

Mencari harga dipasar dengan cara :

Qd = Qs

30 – 2P = – 6 +P

30 + 6 = P + 2P

36 = 3P

maka Pe=12

dan Qe = –6 + 12

Qe = 6

Fungsi perimintaan : Qd = 30 – 2P Fungsi penawaran : Qs = – 6 + P

2p = 30 – Qd Qs + 6 = P

P = 15 – ½ Qd P = Qs + 6

Penggambaranya :

Surplus Konsumen

P´=15 P = Qs + 6 atau Qs = – 6 + P

Pe=12

Surplus Produsen

P¹¹= 6 P = 15 – ½ Qd atau Qd = 30 – 2P

0 Qe = 6 30 PSurplus Konsumen :

atau

baik menghitung dengan menggunakan rumus ke-1 maupun dengan rumus ke-2 diperoleh surpl,us konsumenya sebesar 9.

Surplus Produsen

3. dari soal no 2 hitunglah surplus produsenya!

Jawab

Surplus produsen

maka akan diperoleh surplus produsen sebesar 18.

SELESAIKAN SOAL – SOAL LATIHAN DIBAWAH INI

Carilah fungsi total biaya dari fungsi marginal biaya sebesar : jika berproduksi dari range Q = 4 hingga Q = 8.
Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran terhadap suatu barang P 1,5 Qs +15. berapakah surplus produsenya bila ternyata bahwa tingkat harga di pasar adalah 25? Gambarkanlah fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)dan lakukanlah perhitungannya dengan dua cara!
Fungsi permintaan suatu barang dinyatakan sebagai berikut: Q = 120 – 6P berapakah surplus konsumenya bila ternyata tingkat harga adalah 60? Gambarkanlah fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)dan lakukanlah perhitungannya dengan dua cara!
Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang dipasar masing – masing dinyatakan sebagai berikut : Qd = 40 – 10P dan Qs = 12P – 4

Carilah keseimbangan harga dan kuantitasnya dipasar!
Gambarkan kedua fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)!
Carilah surplus konsumenya!
Carilah surplus produsenya!

Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang dipasar masing – masing dinyatakan sebagai berikut : Qd = 30 – 2 P dan Qs = – 66 + 10

Carilah keseimbangan harga dan kuantitasnya dipasar!
Gambarkan kedua fungsi tersebut pada grafik (p vs Qs)!
Carilah surplus konsumenya!
Carilah surplus produsenya!

Linier Programming

Suatu Pendekatan Grafik

13.1 Penyelesaian dengan Grafik

Tujuan linier programming adalah untuk menetapkan alokasi sumberdaya yang langka secara optimal di antara produk atau aktivitas yang saling bersaing. Situasi perekonomian seringkali mengharuskan pengoptimuman suatu fungsi di bawah beberapa kendala pertidaksamaan. Apabila kendala pertidaksamaan yang dilibatkan lebih dari satu, maka linier programming adalah lebih mudah. Jika kendala-kendalanya tersebut, betapapun banyaknya, terbatas variabel, betapapun banyaknya, kendala penyelesaian yang termudah adalah dengan pendekatan grafik. Pendekatan grafik untuk maksimasi dan minimisasi diperagakan masing masing dalam contoh.

Contoh 1 Sebuah pabrik memproduksi meja (x₁) dan bangku (x₂). Setiap meja memerlukan 2,5 jam untuk perakitan (A), 3 jam untuk pemolesan (B), dan 1 jam untuk pengepakan (C). Setiap bangku memerlukan 1 jam untuk perakitan, 3 jam untuk pemolesan, dan 2 jam untuk pengepakan. Perusahaan tersebut tidak dapat menggunakan lebih dari 20 jam untuk perakitan, 30 jam untuk pemolesan, dan 16 jam untuk pengepakan setiap minggu. Margin laba adalah Rp. 3 per meja dan Rp. 4 per bangku.

Pendekatan grafik digunakan dibawah ini untuk mencari bauran (output mix) yang akan memaksimumkan laba mingguan perusahaan tersebut.pendakatan ini diperagakan dalam empat langkah yang mudah.

Nyatakan data tersebut dalam persamaan atau pertidaksamaan.fungsi yang akan dioptiumkan,fungsi obyektifnya, menjadi

Π = 3x₁ + 4x₂

Di bawah kendala,

Kendala dari A : 2,5x_{1 +}x₂≤ 20

Kendala dari B : 3x₁ + 3x₂≤ 30

Kendala dari C : x1 + 2x₂≤ 16

Kendala ketidaknegatifan : x₁,x₂≥ 0

Tiga pertidaksamaan pertama merupakan kendala – kendala teknis (echnical constrain) yang ditentukan oleh keadaan teknologi dan tersedianya input; pertidaksamaan yang keempat merupakan suatu kendala ketidaknegatifan (nonnegativity constrain) yang ditentukan pada setiap soal untuk menghindarkan nilai negatif(karena itu tak dapat diterima)dari penyelesaian.

Perlakukan ketiga kendala pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, selesaikan masing – masing untuk x₂ dalam kaitanya dengan x₁ , dan gambarkan grafiknya.jadi

Dari A x₂ = 20 – 2,5x₁

Dari B x₂ = 10 – x₁

Dari C x₂ = 8 – 0,5x₁

_(a)_(b)

_{gambar 13 - 1}

Grafik dari pertidaksamaan asal “ lebih kecil atau sama dengan ” akan mencakup semua titik – titik pada garis dan disebelah kiri garis.lihat gambar 13 – 1 (a).kendala ketidaknegatifan x₁,x₂≥ 0, masing – masing digambarkan oleh sumbuh tegak (vertikal) dan sumbu datar (horisontal). Daerah yang digelapkan disebut daerah yang memungkinkan (feasible region). Daerah itu memuat semua titik – titik yang memenuhi ketiga kendala ditambah kendala ketidaknegatifan.x₁danx₂disebut variabel keputusan atau struktural (decision or stuktural variables).

untuk memperoleh pemecahan yang optimal dalam daerah yang memungkinkan,jika ada, gambarkan fungsi obyektif sebagai suatu seri garis isoprofit.

Jadi,garis isoprofit tersebut mempunyai kemiringan - ¾. Dengan menggambarkan suatu seri garis isoprofit (garis putus – putus) yng menunjukan laba(profit)yang semakin besar,kita menemukan garis isoprofit yang menunjukan laba terbesar yang memungkinkan menyentuh daerah yang mungkin di E. Dimana

dan

lihat gambar 13 – 1 (b). Dengan mensubstitusikan dalam (13.1),

= 3(4) + 4(6) = 36.

laba dimaksimumkan pada perpotongan kedua kendala tersebut,yang disebut titik ekstrim(extreme point).

13.2 DALIL TITIK EKSTRIM

Dalil titik ekstrim menyatakan bahwa jika suatu nilai optimal yang memungkinkan (optimal feasible value) dari fungsi obyektif ada, nilai tersebut akan ditenukan pada salah satu titik ekstrim (atau sudut) dari batas tersebut. Perhatikan bahwa terdapat sepuluh titik ekstrim : (0,2),(0,10),(6,5),(10,0),(16,0),(0,8),(4,6),(7,3),(8,0) dan (0,0) dalam gambar 13 – 1,(a) yang terakhir adallah perpotongan kendala – kendala ketidaknegatifan. Semuanya disebut penyelesaian dasar (basic solution) tetapi hanya lima terakhir yang merupakan penyelasaian dasar yang mungkin (basic feasible solution) karena penyelesaian – penyelesaian tersebut tidak melanggar kendala yang manapun. Biasanya hanya salah satu dari penyelesaian dasar yang mungkin tersebut yang akan optimal. Di (7,3) upamanya, Π = 3 (7) + 4(3) = 31 yang lebih rendah dari Π = 36 diatas.

Contoh 2. seorang petani ingin mengetahui bahwa ternak gembalanya memperoleh kebutuhan harian minimum dari tiga bahan pokok makanan pokok A,B dan C. Kebutuhan harianya adalah 14 untuk A, 12 untuk B,dan 18 untuk C. Produk y₁ mempunyai dua unit A,dan satu unit masing – masing B dan C; produk y₂ mempunyai satu unit masing – masing A dan B dan tiga unit C.harga y₁adalah Rp 2,- dan harga y₂ adalah Rp 4,-. Metode grafik digunakaqn dibawah ini untuk menentukan kombinasi biaya yang paling murah dari y₁ dan y₂yang akan memenuhi semua kebutuhan minimum. Dengan menggunakan prosedur yang digunakan dalam contoh 1,

fungsi obyektif yang akan diminimumkan adalah

c = 2y₁ + 4y₂

di bawah kendala ,

kendala dari A : 2y₁ + y₂≥ 14

kendala dari B : y₁ + y₂≥ 12

kendala dari C : y₁ + 3y₂≥ 18

kendala ketidaknegatifan y₁,y₂≥ 0

dimana kendala teknisnya dibaca ≥ karena kebutuhan minimum harus dipenuhi tetapi ungkin dilampaui

Perlakukan pertidaksamaan selesaikan masing – masing untuk y₂ dalam satuan y₁dan gambarkan grafiknya. Grafik dari pertidaksamaan “ lebih besar atau sama dengan ” akan mencakup semua titik – titik pada garis dan disebelah kanan garis. Lihat gambar 13 – 2 (a). Daerah yang digelapkan merupakan daerah yang mungkin memuat semua titik – titik yang memenuhi semua ketiga kendala kebutuhan ditambah kendala ketidaknegatifan.

_{(a) (b)}

_{gambar 13 - 2}

Untuk memperoleh penyelesaian optimal, gambarkan grafik fungsi obyektif sebagai suatu seri garis isocost (garis putus-putus) Dari (13.2)

Garis isocost terendah yang akan menyinggung dareah yang memungkinkan adalah garis singgung (tangen) di

dan

dalam gambar 13 – 2 (b).jadi c = 2(9) + 3(3) = 30 yang menunjukan suatu biaya yang lebih rendah ketimbang di titik ekstrim yang mungkin lainya. Umpamanya di (2,10),c = 2(2) + 4(10)[untuk soal meminimasi, (0,0) tidak dalam daerah yang memungkinkan]

13.3 VARIABEL SLACK DAN VARIABEL SURPLUS

Soal yang melibatkan lebih dari dua variabel berada di luar lingkup pendekatan grafik dua dimensi yang disajikan dalam bab sebelumnya.karena perlunya persamaan, sistem perttidaksamaan linear harus dirubah menjadi sistem persamaan linear.ini dilakukan dengan memasukan suatu variabel slack atau surplus yang terpisah (s_i) kedalam masing – masing pertidaksamaan (kendala ke i) dalam sistem tersebut.lihat contoh 3.

Suatu pertidaksamaan “ lebih kecil atau sama dengan ” seperti 5x₁ + 3x₂≤ 30 dapat dirubah menjadi suatu persamaan dengan menambahkan suatu variabel slack s ≥ 0, sedemikian rupa sehingga 5x₁ + 3x₂+ s = 30.jika 5x₁ + 3x₂= 30, variabel slack s = 0. jika 5x₁ + 3x₂< 30, s adalah suatu nilai positif yang sama dengan selisih antara 5x₁ + 3x₂dan 30.

Suatu pertidaksamaan “ lebih besar atau sama dengan ” seperti 4x₁ + 7x₂≥ 0 sedemikian rupa sehingga 4x₁ + 7x₂ – s = 60.jika 4x₁ + 7x₂= 60,variabel surplus s = 0 jika 4x₁ + 7x₂= 60, s adalah suatu nilai positif yang sama dengn selisih antara 4x₁ + 7x₂dan 60

CONTOH 3 karena kendala – kendala teknis dala contoh 1 semua melibatkan pertidaksamaan “ lebih kecil atau sama dengan ” variabel slack ditambah sebagai berikut :

2,5x₁ + x₂+ s₁ = 20 3x₁ + 3x₂+ s₂ = 30 x₁ + 2x₂+ s₃ = 16

dinyatakan dalam bentuk matriks,

sebaliknya dalam contoh 2 semua kendala adalah “ lebih besar atau sama dengan ”. karena itu variabel surplus dikurangkan.

2y₁ + y₂- s₁ = 14 y₁ + y₂- s₂ = 12 y₁ + 3y₂- s₃ = 18

Dalam bentuk matriks,

13.4 DALIL DASAR

Untuk suatu sistem persamaan m yang konsisten dan variabel n, dimana n > m akan terdapat sejumlah penyelesaian yang tak terhingga. Akan tetapi, banyaknya titik ekstrim adalah terhingga.Dalil dasar menyatakan bahwa untuk suatu sistem m persamaan dan n variabel,dimana n > m suatu penyelesaian dimana sedikitnya n - m variabel saa dengan nol merupakan titik ekstrim. Jadi dengan menetapkan n – m variabel sama dengan nol menyelesaikan m persamaan untuk m variabel yang tersisa,suatu titik ekstrim,atau penyelesaian dasar dapat diperoleh.besarnya penyelesaian dasar dapat diberikan dengan rumus

dimana n! Dibaca n factorial lihat contoh 4

CONTOH 4 dengan mereduksi pertidaksamaan menjadi persamaan dalam contoh 3 menghasilkan tiga persamaan dan lima variabel.perhitungan untuk menentukan (1) banyaknya variabel yang harus ditetapkan sama dengan nol untuk memperoleh suatu penyelesaian dasar dan (2) besarnya penyelesaian dasar yang ada,diperlihatkan dibawah ini.

karena terdapat 3 persamaan dan 5 variabel ,dan n- m variabel harus sama dengan nol untuk penyelesaian dasar 5 – 3 atau 2 variabel harus sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar atau titik ekstrim.
dengan menggunakan rumus untuk besarnya penyelesaian dasar, n!/[m!(n-m)] dan dengan mensubstitusikan parameter – parameter yang diketahui.

dimana 5! = 5(4) (3) (2) (1). Jadi

CONTOH 5. Beberapa dasar dapat dibaca secara langsung dari matriks tanpa suatu manipulasi aljabar.lihat contoh 3.

Dalam atriks pertama,dengan menetapkan x₁ = 0 dan x₂ = 0 akan menghasilkan suatu matriks identitas untuk s₁.s₂.s₃.jadi s₁ = 20,s₂ = 30 dan s₃ = 16 merupakan suatu penyelesaian dasar yang dapat dibaca secara langsung dari atriks tersebut.

Dalam matriks kedua,dengan menetapkan y₁ = 0 dan y₂ = 0 akan menghasilkan suatu matriks identitas yang negatif untuk s₁.s₂.s₃.jadi s₁ = -14,s₂ = -12 dan s₃ = -18 merupakan penyelesaian dasar.akan tetapi,perhatikan bahwa penyelesaian dasar tersngebut bukan suatu penyelesaian dasar yang memungkinkan karena melanggar kendala ketidaknegatifan.

SOAL DAN JAWABAN

PERNYATAAN MATEMATIS ATAS MASALAH EKONOMI

Sebuah pabrik khusus baja memproduksi dua tipe baja (g₁ dan g₂) tipe satu memerlukan 2 jam untuk peleburan,4 jam untuk percetakan dan 10 jam untuk pemotongan. tipe dua memerlukan 5 jam untuk peleburan,1 jam untuk percetakan dan 5 jam untuk pemotongan.empat puluh jam tersedia untuk peleburan,dua puluh jam untuk percetakan dan 60 jam untuk pemotongan.marjin laba untuk tipe 1 adalah 24,untuk tipe 2 adalah 8.nyatakan data tersebut dalam persamaan – persamaan dan pertidaksamaan yang perlu untuk menetapkan bauran output yang akan memaksimumkan laba.

Maksimumkan Π = 24 g₁ +8 g₂

Dibawah 2 g₁ + 5 g₂≤ 40 kendala peleburan

4 g₁ + g₂≤ 20 kendala percetakan

10 g₁ + 5 g₂≤ 60 kendala pemotongan

g₁ + g₂≥ 0

Sebuah perusahaan gilingan batu untuk pekarangan rumah memproduksi dua macam batu; kasar (x₁) dan halus (x₂).batu kerikil yang kasar memerlukan 2 jam untuk penghancuran, 5 jam untuk pengayakan dan 8 jam untuk pengeringan. batu halus memerlukan 6 jam untuk penghancuran, 3 jam untuk pengayakan dan 2 jam untuk pengeringan. Marjin laba untuk batu kasar adlah 40, untuk batu halus adalah 50. Di perusahaan tersebut tersedia waktu 36 jam untuk penghancuran, 30 jam untuk pengayakan dan 40 jam untuk pengeringan.

Tentukan bauran output yang memaksimumkan laba dengan menyederhanakan data ini menjadi persamaan – persamaan dan pertidaksamaan.

Maksimumkan Π = 40 x₁ + 50 x₂

Dibawah 2 x₁ + 6 x₂≤ 36 kendala penghancuran

5 x₁ + 3 x₂≤ 30 kendala pengayakan

8 x₁ + 2 x₂≤ 40 kendala pengeringan

x₁ + x₂≥ 0

Seorang yang gandrung model hidup sehat ingin memperoleh minimum 36 unit vitamin A, 28 unit vitamin C, dan 32 unit vitamin D setiap hari. Merk 1 harganya Rp 3,- dan memberikan 2 unit vitamin A, 2 unit vitamin Cdan 8 unit vitamin D. Merk 2 harganya Rp 4,- dan memberikan 3 unit vitamin A, 2 unit vitamin C dan 2 unit vitamin D.Dengan memakai persamaan - persamaan dan pertidaksamaan, bagaimanakah kombinasi paling murah yang menjamin kebutuhan harian?

Minimumkan c = 3 y₁ + 4 y₂

Dibawah 2 y₁ + 3 y₂≥ 36 kendala vitamin A

2 y₁ + 2 y₂≥ 28 kendala vitamin C

8 y₁ + 2 y₂≥ 32 kendala vitamin D

y₁ + y₂≥ 0

Pak samin memastikan bahwa ayam – ayamnya mendapatkan paling sedikit 24 unit zat besi dan 8 unit vitamin setiap hari. Jagung (x₁) memberikan 2 unit zat besi dan 5 unit vitamin. Tepung tulang (x₂) memberikan 4 unit zat besi dan 1 unit vitamin.padi – padian (x₃) memberikan 2 unit zat besi dan 1 unit vitamin.bagaimana makanan – makanan tersebut harus dicampur untuk memberikan pemmenuhan yang paling murah atas kebutuhan harian jika harga makanan tersebut masing – masing Rp 40,- Rp 20,- dan Rp 60,-

Minimumkan c = 40 x₁ + 20 x₂ + 60 x₃

Dibawah 2 x₁ + 4 x₂ + 2 x₃≥ 24kendala vitamin zat besi

5 x₁ + x₂ + x₃≥ 24kendala vitamin

x₁, x₂, x₃≥ 0

GRAFIK UNTUK PENYELESAIAN

dengan menggunakan data dibawah,

1) Gambarkan grafik kendala – kendala pertidaksamaan setelah menyelesaikan masing – masing untuk g₂ dalam g₁

2) Grafikan kembali dan hitamkan daerah yang memungkinkan(feasible region).

3) Hitunglah kemiringan fungsi obyektif.taruhlah penggaris diatas kemiringan ini gerakkan penggaris tersebut ke titik singgung dengan fungsi obyektif,dan tariklah suatu garis putus – putus.

4) Bacalah setiap nilai kritis untuk g₁dan g₂pada titik singgung, dan evaluasilah fungsi obyektif pada nilai – nilai ini.

Dari soal 1.

Maksimumkan Π = 24 g₁ + 8 g₂

Dibawah 2 g₁ + 5 g₂≤ 40 kendala 1

4 g₁ + g₂≤ 20 kendala 2

gkin dignh 10 g₁ + 5 g₂≤ 60 kendala 3

g₁ + g₂≥ 0

kendala – kendala pertidaksamaan tersebut harus digrafikan seperti terlihat dalam gambar 13.3 (a).untuk kendala 1, dari g₂= 8 – 2/5 g₁, apabila g₁ = 0, g₂ = 8;apabila g₂ = 0,g₁ = 20.perhatikan bahwa kendala ketidaknegatifan hanya membatasi analisis pada kuadran pertama.

Daerah yang mungkin digrafikan dalam gambar 13.3 (b). Dari fungsi obyektif,g₂=Π/8– 3 g₁; kemiringan = -3. di titik singgung, g₁ = 4 dan g₂ = 4.jadi Π= 24(4) + 8(4) = 128

(a) (b)

gambar 13.3

kerjakan kembali seperti soal 5, dengan menggunakan data berikut, yang diperoleh dalam soal 2

Maksimumkan Π = 40 x₁ + 50 x₂

Dibawah 2 x₁ + 6 x₂≤ 36 kendala 1

5 x₁ + 3 x₂≤ 30 kendala 2

8 x₁ + 2 x₂≤ 40 kendala 3

x₁ + x₂≥ 0

lihat gambar 13.4 (a) untuk kendala yang digrafikan; gambar 13.4 (b) untuk daerah yang memungkinkan.

Dari fungsi obyektif, x2 = Π /50 – 4/5 x1, kemiringan = - 4/5, dalam gambar 13.4 (b), x1 =3 dan x2 = 5. jadi Π = 40(3) + 50 (5) = 370

(a) (b)

gambar 13.4

PENYELESAIAN OPTIMAL BERGANDA

Kerjakan kembali seperti soal diatas apabila diketahui data berikut :

Minimumkan c = 4 x₁ + 2 x₂

Dibawah 4 x₁ + x₂ ≥ 20 kendala 1

2 x₁ + x₂ ≥ 14kendala 2

x₁ + 6 x₂ ≥ 18kendala 3

x₁, x₂≥ 0

(a) (b)

gambar 13.5

Dalamgambar 13.5 dengan garis isocost menyinggung kendalan kedua, maka tidak terdapat penyelesaian tunggal optimal yang memungkinkan. Setiap titik antara garis (3,8) dan (6,2) akan meminimumkan fungsi obyektif dibawah kendala tersebut.penyelesaian optimal berganda (multiple optial solution) akan terjadi bilamana terdapat ketergantungan linear antara fungsi obyektif dan salah satu kendala. Dala kasus ini, fungsi obyektif dan kendala 2 adalah secara linear tergantung (tak bebas) karena yang satu dapat dinyatakansebagai penggandaan dari yang lain. Perhatikan bahwa penyelesaian optimal berganda tidak menyangkal dalil titik ekstrim,karena titik – titik ekstrim (3,8) dan (6,2) juga termasuk dalam penyelesaian optimal, yaitu c = 4(3) = 38 atau c = 4(6) + 2(2) = 28

VARIABEL SLACK DAN SURPLUS

(a) ubahlah kendala – kendala pertidaksamaan dalam data berikut menjadi persamaan dengan menambahkan variabel slack atau mengurangkan variabel surplus dan (b) nyatakan persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

Maksimumkan Π = 24 y₁ + 8 y₂

Dibawah 2 y₁ + 5 y₂≤ 40

4 y₁ + y₂≤ 20

10 y₁ + 5 y₂≤ 60

y₁ , y₂≥ 0

(a) untuk pertidaksamaan “lebih kecil atau sama dengan”. Tambahkan variabel slack.jadi,

2 y₁ + 5 y₂ + s₁ = 40 4 y₁ + y₂+ s₂ = 20 10 y₁ + 5 y₂ + s₃ = 60

(b)

Kerjakan seperti soal di atas untuk yang berikut :

Minimumkan c = 60 x₁ + 80 x₂

Dibawah 2 x₁ + 3 x₂ ≥ 36

2 x₁ + 2 x₂≥ 28

8 x₁ + 2 x₂≥ 32

x₁, x₂≥ 0

(a) untuk pertidaksamaan “lebih besar atau sama dengan”. kurangkan variabel surplus.jadi,

2 x₁ + 3 x₂ - s₁ = 36 2 x₁ + 2 x₂- s₂ = 28 8 x₁ + 2 x₂ - s₃ = 32

(b)

(a) Reduksikan kendala – kendala pertidaksamaan dari data berikut ini menjadi persamaan dan nyatakan dalam bentuk matriks. Tentukan (b) banyaknya variabel yang harus ditetapkan sama dengan nol untuk memperoleh penyelesaian dasar dan (c) banyaknya penyelesaian dasar yang ada, (d) tentukanlah penyelesaian dasar pertama dari matriks tersebut.

Minimumkan c = 54 g₁ + 48 g₂ + 50g₃

Di bawah 6 g₁ + 4 g₂ + 5g₃ ≥ 30 3 g₁ + 6 g₂ + 5g₃ ≥ 20 g₁,g₂,g₃ ≥ 0

(a) 6 g₁ + 4 g₂ + 5g₃ ≥ 30

3 g₁ + 6 g₂ + 5g₃ ≥ 20

(b) karena terdapat dua persamaan dan 5 variabel, maka sebanyak n – m = 5 – 2 = 3 variabel harus ditetapkan sama dengan nol untuk suatu penyelesaian dasar.

(d) Dengan menetapkan g₁ = g₂ =g₃ = 0, penyelesaian dasar pertamanya adalah

dan

,karena keduanya negatif penyelesaian – penyelesaian ini tidak dapat menjadi suatu penyelesaian dasar yang memungkinkan

LIN EAR PROGRAMMING :

ALGORITMA SIMPLEKS

14.1. ALGORITMA SIMPLEKS : MAKSIMASI

Algoritma adalah suatu kaidah aatau suatu prosedur sistematis untuk mendapatkan penyelesaian suatu soal. Algoritma simpleks adalah suatu metode(atau prosedur perhitungan) untuk menentukan penyelesaian dasar yang memungkan atas asuatu sistem persamaan dan pengujian keoptimalan penyelesaian tersebut. karna paling sedikit n – m variabel harus sama dengan noluntuk suatu penyelesaian dasar, n – m variabel ditetapkan saa dengan nol dala setiap langkah dari prosedur tersebut, dan penyelesaian diperoleh dengan menyelesaikan m persamaan untuk m variabel sisanya. Algoritma bergerak dari satu penyelesaian dasar yang mungkin ke penyelesaian dasar yang lain, sembari selalu menyempurnakan penyelesaian sebelumnya, sampai penyelesaian optimal dicapai.variabel – variabel yang disamakan dengan nol pada langkah tertentu disebut tidak dalam basis atau tidak dalam penyelesaian. variabel – variabel yang tidak ditetapkan saa dengan nol disebut dalam basis atau dalam penyelesaian. Atau lebih sederhana variabel – variabel dasar. Metode simpleks diilustrasikan dalam contoh 1 untuk maksimisasi dan dalam contoh 3 untuk miniisasi.

Contoh . Algoritma simpleks digunakan sebagai berikut untuk memeksimumkan laba, apabila ditentukan Π = 5x₁+ 3x₂

Di bawah kendala,

6x₁ + 2x₂ ≤ 36 2x₁ + 4x₂ ≤ 28

5x₁ + 5x₂ ≤ 40 x₁,x₂ ≥ 0

1. Tabel Sipleks Awal

i) Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambahkan variabel – variabel slack

6x₁ + 2x₂ + s₁ = 36

5x₁ + 5x₂ + s₂ = 40

2x₁ + 4x₂ + s₃ = 28

ii) Nyatakan persamaan – persamaan kendala dalam bentuk matriks,

iii) Susunlah suatu tabel simpleks awal yang terdiri dari matriks koefisien dari persamaan kendala dan vektor kolom dari konstanta letakan diatas satu baris dari indiktor yang merupakan negatif – negatif dari koefisien fungsi obyektif dan sebuah koefisien nol untuk masing – masing variabel slack. Elemen kolom konstanta dari baris terakhir adalah juga nol,sesuai deng n nilai fungsi obyektif di titik asal (kalau x₁ = x₂ = 0)

Tabel simpleks awal :

iv) Penyelesaian mendasar pertama yang mungkin dapat dibaca dari tabel_s impleks awal. Dengan menetapkan x₁ = 0 dan x₂ = 0, seperti dalam contoh 5 bab 3,s₁ = 36, s₂ = 40, s₃ = 28 pada penyelesaian mendasar pertama yang mung kin tersebut, fungsi obyektif mempunyai nilai nol.

2. Elemen Pivot dan Perubahan Dasar (basis)

Untuk menaikan nilai fungsi obyektif, suatu penyelesaian mendasar yang baru diperiksa. Untuk bergerak kesuatu penyelesaian mendasar baruyang mungkin, suatu variabel diasukan kedalam basis dan salah satu variabel sebelumnya berada dalam basis harus dikeluarkan. Proses pemilihan variabel yang dimasukan dan variabel yang dikeluarkan tersebut dinamakan perubahan basis (change of basis)

i) Indikator negatif dengan nilai absolut terbesar akan menentukan variabel yang asuk ke dala basis. Karna -5 dalam kolom pertama (atau x₁)merupakan indikator negatif dengan nilai absolut terbesar, x₁ di asukan ke dalam basis x₁enjadi kolom pivot dan ditandai dengan anak panah.

ii) Variabel yang dieliminasi ditentukan oleh rasio pemindahan (displacement ratio). Rasio pemindahan diperoleh dengan membagi elemen kolom konstan dengan elemen kolom pivot. Baris dengan ratio pemindahan terkecil (yaitu baris pivot) dengan mengabaikan rasio – rasio lebih kecil atau sama dengan nol,akan menentukan variabel yang meninggalkan baris. Karena

memberikan rasio terkecil

, baris₁ merupakan baris pivot. Karena vektor satuan (unit vektor) dengan 1 dalm baris pertamanya berada dibawah kolo s₁, maka s₁akan meninggalkan basis. Elemen pivotnya adalah † elemen pada perpotongan kolom variabel yang masuk ke basis dan baris yang berhubungan dengan variabel yang meninggalkan basis(yaitu elemen pada perpotongan baris pivot dan kolo pivot)

3. Pivoting

Pivoting adalh proses penyelesaian m persamaan dalam bentuk m varibel yang sekarang berada dala basis. Karena hanya satu variabel baru yang memasukibasis pada setiap langkah proses,dan langkah sebelumnya selalu melibatkan suatu matriks identitas, pivoting hanya meliputi pengubahan elemen pivot menjadi 1 dan semua eleen lainya dalam kolom pivot menjadi nol, seperti dala metode eliminasi Gauss ( lihat butir 10.12),swebagai berikut :

i) Kalikan baris pivot dengan kebalikan (reciprocal) dari eleen pivot. Dalam hal ini, kalikan baris₁ dengan

Tabel kedua:

ii) Setelah mereduksi elemen pivot menjadi 1, rampungkan kolom pivotnya. Di sini, kurangkan 5 kali baris₁ dari baris₂,2 kali baris₁ dari baris₃dan tambahkan 5 kali baris₁ ke baris₄. ini memberikan tabel kedua

Penyelesaian mendasar kedua yang mungkin dapat dilihat secara langsung dari tabel kedua. Dengan menetapkan x₂ = 0 dan s₁ = 0 , sekarang tinggal suatu atriks identitas yang memberikan x₁= 6, s₂ = 0,dan s₃ = 16. eleen terakhir dala baris terakhir (dalam hal ini, 30) merupakan nilai fungsi obyektif pada penyelesaian mendasar kedua yang mungkin.

4. Optimisasi

Fungsi obyektif di maksimumkan kalau tidak terdapat indikator negative dalam baris terakhir. Dengan mengubah basis dan melakukan pivoting kontinu menurut kaidah di atas sampai hal ini di capai. Karena

dalam kolom kedua merupakan satu – satunya indikator negative. Maka x₂ dimasukan kedalam basis; kolom₂ menjadi kolom pivotnya. Dengan membagi kolom konstanta dengan kolom pivot memperlihatkan bahwa rasio terkecil adalah dalam baris kedua. Jadi

menjadi elemen pivot yang baru. Karena vector satuan dengan 1 dalam baris keduanya adalah dibawah s₂ , maka s₂ akan meninggalkan basis untuk mempivot.

i. Kalikan baris₂ dengan

ii. Kemudian kurangkan

kali baris₂ dari baris₁,

kali baris₂ dari baris₃,dan tambahkan

kali baris₂ ke baris₄, menghasilkan table ketiga

Tabel ketiga

Penyelesaian mendasar ketiga yang memungkinkan dapat dibaca secara langsung dari tabel tersebut. Karena tidak terdapat indicator negative yang tertinggal dalam baris terakhir, ini merupakan penyelesaian optimal. Elemen terakhir dalam baris terakhir menunjukan bahwa

, fungsi obyektif tersebut mencapai suatu maksimum pada

. Dengan

dan

, dari (14.1) tidak terdapat variabel slack dalam dua kendala yang pertama dan dua input yang pertama semuanya habis. Akan tetapi, dengan

, 6 unit dari input yang ketiga tetap tidak terpadu. Untuk gabar grafik lihat contoh 13.11.

14.2. NILAI MARGINAL ATAU HARGA BAYANGAN.

Nilai indicator dibawah setiap variabel slack dalam tabel terakhir menyatakan nilai marginal (marginal value) atau harga bayangan (Shadow price) dari input yang berhubungan dengan variabel tersebut, yaitu berapa banyak fungsi obyektif akan berubah sebagai akibat dari kenaikan satu unit dalam input tersebut. Jadi, alam contoh 1, laba akan naik sebesar ½ unit atau 50 sen untuk perubahan satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 1; dan sebesar

atau 40 sen untuk kenaikan satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 2; dan sebesar 0 untuk kenaikan satu unit dalam nilai konstanta dari kendala 3. karena kendala 3 mempunyai variabel slack positif, erarti tidak sepenuhnya dimanfaatkan penyelesaian optimal dan nilai marginalnya adalah nol (yaitu penambahan satu lagi unit lain,tidak akan menambah sesuatupun pada fungsi laba). Nilai optimal dari fungsi dari fungsi obyektif akan selalu sama dengan penjumlahan dari nilai marginal setiap input dikalikan kuantitas yang tersedia dari masing – masing input.

CONTOH 2. jawaban pada contoh 1 dapat dicek dengan (1) substitusi nilai – nilai kritis baik dalam persamaan fungsi obyektif maupun persamaan kendala dalam (14.1) dan (2) mengevaluasi jimlah nilai marginal dari sumberdaya (resources). Semua sarat harus dienuhi untuk suatu optimum. Umpamakan A,B,C melambangkan berbagai konstanta dalam kendala 1,2,3.

1. Π = 5x₁ + 3x₂ 5x₁ + 5x₂ + s₂ = 40

= 5(5) + 3(3) = 34 5(5) + 5(3) + 0 = 40

6x₁ + 2x₂ + s₁ = 36 2x₁ + 4x₂ + s₃ = 28

6(5) + 2(3) + 0= 36 2(5) + 4(3) + 6 = 28

2. Π = MP_A(A) + MP_B(B) + MP_C(C) =

(36) +

(40) + 0 (28) = 34

14.3. ALGORITMA SIMPLEKS : MINIMISASI

Apabila algoritma simpleks digunakan untuk mencari suatu nilai minimal, nilai negative yang dihasilkan oleh variabel surplus menghadirkan suatu soal istimewa.lihat contoh 3. seringkali akan lebih mudah untuk menyelesaikan soal – soal minimasi dengan memakai dua, yang di bahas dalam bab 15. oleh karena itu, para mahasiswa mungkin lebih baik membaca bab 15 terlebih dahulu.

CONTOH 3. algoritma simpleks digunakan di bawah ini untuk meminimumkan biaya. Data tersebut berasal dari contoh 2 dalam bab13, dengan y sekarang dig anti x, dimana c = 2 x₁+ 2 x₂ , dibawah kendala – kendala gizi.

2 x₁+ x₂≥ 14x₁+ 3 x₂ ≥ 18

x₁+ x₂≥ 12x_{1 ,} x₂≥ 0

1. tabel simpleks awal (sedikit dimodifikasi)

i. ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan mengurangkan variabel – variabel surplus

2 x₁+ x₂ – s₁ = 14

x₁+ x₂– s₂= 12

x₁+ 3 x₂ – s₂= 18

ii. Nyatakan persamaan kendala dalam bentuk matriks,

Dari matriks tersebut jelas bahwa jika x₁ = 0 dan x₂ = 0, seperti dalam simpleks awal untuk maksimisasi, penyelesaian dasar tidak mungkin karena s₁ = -14, s₂ = -12, s₃ = -18 dan nilai negatif adalah tidak mungkin (nonfeasible). Untuk mengatasi masalah tersebut, harus di msukan variabel – varaibel buatan (artificial variables).

iii. Tambahkan variabel – variabel buatan. Variabel buatan (A_i ≥ 0)adalah suatu variabel kosong (dummy variable) yang ditambahkan dengan maksud khusus untuk menghasilkan suatu penyelesaian dasar awal yang mungkin. Variabel tersebut tidak mempunyai makna ekonomi. Sutu variabel yang terpisah ditambahkan untuk masing – masing pertidaksamaan asal yang bersifat “lebih besar atau sama dengan”. Jadi,

Tabel Simpleks Awal yang Disesuaikan untuk Meminimisasi.

Buatlah tabel simpleks awal dengan meletakan matriks koefisien dan vector kolom dari konstanta dalam (14.2) diatas baris indicator yang negatif dari koefisien – koefisien fungsi obyektif. Fungsi obyektif mempunyai koefisien – koefisiennol untuk variabel surplus dan koefisien – koefisien M variabel – variabel buatan, dimana M adalah suatu bilangan besar yang tidak mungkin (impossibly large number) untuk meyakinkan bahwa A akan dikeluarkan dari penyelesaian optimal.

ii. Kemudian pindahkan M dari kolom variabel buatan dengan menambahkan M kali ( baris₁+ baris₂ + baris₃).ini akan menghasilkan tabel awal.

Tabel awal

Penyelesaian mendasar pertama yang unkindapat dilihat secara langsung dari tabel awal tersebut. Dengan mengandaikan x₁ = x₂ = s₁ = s₂ = s₃ = 0, penyelesaian mendasar pertama yang memungkinkan adalah A₁ = 14, A₂ = 12, A₃ = 18, dan fungsi obyektifnya adalah 44M, suatu bilangan besar yang tidak mungkin. Untuk menurunkan biaya, carilah perubahan basis.

Elemen Fivot

i. Untuk menimasi, indicator positif terbesar akan menentukan kolom pivot dan variabel yang memasuki basis. Karena elemen terakhir dari baris paling bawah , 44M , bukan indicator , 5M – 4 merupakan indicator positif terbesar. Jadi x₂menjadi kolom pivot, sebagaimana ditandai dengan anak panah.

ii. Baris pivot dan variabel yang meninggalkan basis ditentukan oleh rasio terkecil yang dihasilkan dari pembagian elemen – elemen kolom pivot, persis untuk soal maksimisasi, karena

merupakan rasio terkecil yang dihasilkan, maka baris₃ menjadi baris pivot. A₃ akan meninggalkan basis karena vector satuan dengan 1 dalam baris ketiga adalah berhubungan dengan A₃. elemen pivot pada perpotongan kolom pivot dan baris pivot adalah 3.

Pivoting

i. Kurangi elemen pivot menjadi 1 dengan mengalikan baris₃ oleh

ii. Rampungkan kolom pivot dengan engurangkan baris₃ dari baris₁ dan baris₂, dan (5M-4) kali baris₃ dari baris₄

Tabel kedua :

Pengulangan (Reiterasi)

Selama masih ada suatu indikator positif, proses tersebut berjalan terus. Kolo pivot yang baru menjadi kolom₁; baris pivot yang baru adalah baris₁. jadi x₁ masuk ke basis dan A₁ meninggalkan basis.elemen pivotnya adalah

Kalikan baris₁ dengan

ii. Rampungkan kolom₁ dengan mengurangkan

baris₁ dari baris₂,

baris₁ dari baris₃, dan (7M – 2)/3] baris₁ dari baris₄, menghasilkan tabel ketiga.

Pivot Keempat

Kalikan baris₂ dengan

ii. Tambahkan

baris₂ ke baris₁, dan kurangkan

baris₂ dari baris₃ dan [2M – 2)/5] baris₂ dari baris₄.

Tabel keempat

Dengan semua indikator negatif, suatu penyelesaian optimal yang mungkin telah dicapai.dengan memishkan matriks identitas, dan memperhatikan bahwa vector satuan untuk x₂ dan s₁berbalikan, penyelesaian dasar optimal yang memungkinkan tersebut dapat dibaca secara langsung dari tabel keempat

, dan

. nilai fungsi obyektif ditunjkan oleh elemen terakhir dari baris terakhir, dimana

Beberapa hal penting untuk diperhatikan :

1. Dengan

, kebutuhan kedua dn ketiga dipenuhi secara tepat . tidak terdapat surplus. Dengan

kebutuhan pertama dipenuhi secara berlebih sebesar 7 unit.

2. Nilai absolut dari indicator untuk variabel – variabel surplus memberikan nilai marginal atau harga bayangan dari kendala. Dengan indicator untuk s₁ sama dengan nol, pengurangan satu unit dalam kebutuhan gizi pertama tidak akan mengurangi biaya. Akan tetapi, pengurangan satu unit dalam kebutuhan gizi kedua dan ketiga akan mengurangi biaya sebesar Rp 1,-, karena nilai absolut indikator untuk s₂ dan s₃adalah 1. sebagaimana halnya nilai marginal, biaya total akan sama dengan jumlah dari berbagai kebutuhan dikalikan harga bayangan masing – masing.

3. indikator darivariabel – variabel buatan semuanya negatif dalam tabel terakhir. Ini harus selalu cocok untuk suatu penyelesaian optimal.

4. elemen – elemen koefisien dari dari variabel surplus(s₁,s₂,s₃) selalu sama dengan negatif dari elemen – elemen koefisien untuk variabel – variabel buatanya yang berkaitan (A₁, A₂, A₃). Ini harus cocok dalam setiap yang berurutan dapat membantu dalam menemukan kesalahnmatematis.

5. suatu variabel buatan tidak akan pernah tampak dalam basis tabel terakhir jika suatu penyelesaian dasar optimal yang mungkin telah dicapai. Untuk penyelesaian dual soal pada soal yang sama, lihat contoh 4 dan 5 dalam bab 15.

CONTOH 4. Jawaban pada contoh 1 dapat dicek dengan (1) substitusi nilai – nilai kritis baik dalam persamaan fungsi obyektif maupun persamaan kendala, dan (2) mengevaluasi jumlah biaya marginal sumberdaya.misalkan A,B,C melambangkan konstan - konstan dalam kendala 1,2,3.

1. c = 2x₁ + 4x₂ x₁ + x₂ – s₂ = 12

= 2(9) + 4(3) = 30 9 + 3 – 0 =12

2x₁ + x₂ – s₁ = 14 x₁ + 3x₂ – s3 = 18

2(9) + 3 – 7 = 14 9 + 3(3) – 0 = 18

2. c = MC_A(A) + MC_B(B) + MC_C(C) = 0(14) + 1(12) + 1(18) = 30

SOAL DAN JAWABAN

MAKSIMISASI

1. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan system persamaan dan pertidaksamaan berikut. Tentukan harga bayangan dari input (atau kebutuhan) untuk kendalanya.

Maksimumkan Π = 3y₁+ 4y₂

Yang terikat pada 2.5y₁ + y₂ ≤ 20 y₁+ 2y₂ ≤ 16

3y₁+ 3y₂ ≤ 30 y₁,y₂ ≥ 0

1. Buatkan tabel simpleks awal

i. Tambahkan variabel slack pada kendala untuk membuatnya jada persamaan .

2.5y₁ + y₂ + s₁= 20 3y₁+ 3y₂ + s₂ = 30 y₁+ 2y₂ + s₃= 16

ii. Nyatakan persamaan – persamaan tersebut dalam nentuk matriks

iii. Bentuklah tabel simpleks awal yang terdiri dari matriks koefisien persamaan kendala dan vector kolom konstan yang diletakan diatas baris indikator yang negatif dari koefisien – koefisien fungsi obyektif dengan koefisien nol untuk variabel awal :

Tabel awal :

Dengan menetapkan y1 = y2 = 0, penyelesaian mendasar pertama yang mungkin adalah s1 = 20, s2 = 30, dan s3 = 16. pada penyelesaian mendasar pertama yang mungkin tersebut, Π = 0.

2. Merubah basis. Indikator negatif dengan nilai absolute terbesar (anak panah) menentukan kolom pivot. Rasio pemindahan terkecil yang diperoleh dari pembagian elemen kolom konstanta dengan elemen kolom pivot menentukan baris pivot. Jadi, ‚ menjadi elemen pivot, elemen pada perpotongan baris pivot dan kolom pivot.

3. Pivot.

Ubahlah elemen pivot menjdin1 dengan mengalikan baris3 dengan ½ .

ii. Rampungkan kolom pivot dengan mengurangkan baris₃ dari baris₁ , 3 kali baris₃ dari baris₂, dan tambahkan 4 kali baris₃ ke baris₄

Tabel kedua :

4. Ubahlah basis pada pivotnya sekali lagi. Kolom₁ adalah kolom pivot, baris₂ baris pivot, dan

adalah elemen pivot.

i. Kalikan baris₂ dengan

ii. Rampungkan kolom pivot dengan mengurangkan 2 kali baris₂dari baris₁, ½ kali baris₂ dari baris₃, dan tambahkan barsi₂ ke baris_4.

Tabel final :

Karena tidak terdapat indikator negatif yang tertinggal, tbel fina dapat diperoleh. Dengan mengoreksi fakta bahwa vektor – vektor satuan dari matriks identitas tidak beraturan (out of order),

, dan Π = 36. lihat contoh 1 dalam bab 13 dimana x digunakan sebagai pengganti y. Harga bayangan dari input berturut – turut adalah 0,

dan 1.

MINIMISASI

2. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan system persamaan dan pertidaksamaan yang diberikan di bawah ini. Tentukan harga bayangan dari masing – masing persyaratan kendalanya.

Miniumkan c = 60 x₁ + 80 x₂

Yang terikat pada 2 x₁ + 3 x₂ ≥ 36 8 x₁ + 2 x₂ ≥ 32

2 x₁ + 2 x₂ ≥ 28 x₁,x₂ ≥ 0

1. Ubahlah pertidaksamaan menjadi persamaan dengan mengurangkan variabel – variabel surplus, dan nyatakan dalam bentuk matriks.

2 x₁ + 3 x₂ - s₁= 36 2 x₁+ 2 x₂ - s₂ = 28 8 x₁+ 2 x₂ - s₃= 32

Karena penyelesaian dasar pertamanya tidak akan mungkin, tambahkan variabel – variabel buatan

2. Buatlah tabel awal dengan melengtakan matriks koefisien dan vektor kolom dari konstanta di atas negatif darikoefisien – koefisien fungsi obyektif yang mempunyai koefisien nol untuk variabel – variabel surplus, dan koefisien yang secara semu (M) untuk variabel – variabel buatan.

Rampungkan kolom – kolom variabel buatan M dengan menambahkan M dikalikan (baris₁ + baris₂ + baris₃) ke baris₄ untuk mendapatkan tabel awal.

Tabel awal

3. Pilihlah elemen pivotnya dan pivotkan. Karena 12M -60 merupakan indikator positif terbesar dan

adalah rasio pemindahan terkecil, 8 adalah elemen pivotnya.

i. Kalikan baris₃ dengan

ii. Kurangkan 2 kali baris₃ dari baris₁, 2 kali baris₃ dari baris₂, dan (12M-60) kali baris₃ dari baris₄

Tabel kedua :

4. Pivotkan lagi

i. Kalikan baris₁ dengan

ii. Kurangkan

baris₁ dari baris₂,

baris₁ dari baris₃, dan (4M – 65) baris₁ dari baris₄

5. Pivotkan untuk ketiga kali. Dengan engingat bahwa eleen negatif tidak dapat digunakan dalam penyebut dari rasio pemindahan,

merupakan eleen pivot yang baru.

i. Kalikan baris₂ dengan

ii. Tambahkan

kali baris₂ ke baris₁ dan kurangkan

kali baris₂ dari baris₃ dan [(3M/5)- 26]kali baris₂ dari baris₄

iii.

Tabel keempat :

6. Pivotkan keempat kali

i. Kalikan baris₂ dengan 6.

ii. Kurangkan

kali baris₂ dari baris₁, tambahkan

kali baris₂ ke baris₃, dan kurangkan

kali baris₂ dsari baris₄

Tabel final :

Dengan memperhatikan urutan dari vektor – vektor unit,

, dan

. dan

. Harga bayangan dari persyaratan yang erupakan kendala masing – masing adalah 20,10, dan 0.

PENYELESAIAN OPTIMAL BERGANDA

3. Gunakan algoritma simpleks untuk menyelesikan persamaan dan pertidaksamaan – pertidaksamaan berikut

Minimukan c = 4x₁ + 2x₂

Yang terikat pada 4x₁ + x₂ ≥ 20 x₁ + 6x₂ ≥ 18

2x₁ + x₂ ≥ 14 x₁,x₂ ≥ 0

1. Buatlah tabel awal

Tabel awal ;

2. Pivotkan. Kalikan baris₃ dengan

setelah menurunkan elemen pivot menjadi 1, kurangkan baris₃ dari baris₁ dan dan dari baris₂ dan (8M – 2) kali baris₃ dari baris₄ menghasilkan tabel kedua

Tabel kedua ;

3. Pivot sekali lagi. Kalikan baris₁ dengan

. Kemudian kurangkan

kali baris₁ dari baris3, dan [(17 – 11)3] kali baris₁ dari baris₄

Tabel ketiga ;

4. Pivot ketiga kali. Kalikan baris₂ dengan

. Kemudian tambahkan

kali baris₂ ke baris₁, kurangkan

kali baris₂ dari baris₃, dan [(11M – 22/23)] kali baris₂ dari baris₄

Tabel final ;

Dari tabel final

. Dan

. Akan tetapi,

, yang tidak terdapat basis terakhir, mempunyai indikator nol. Ini berarti bahwa variabel s₃ dapat dimasukan ke basis tanpa mempengaruhi nilai fungsi obyektif. Karena fungsi obyektif telah berada pada optimum, maka pasti terdapat lebih dari satu penyelesaian optimal. Bilamana suatu variabel yang tidak berada dalam basis mempunyai indikator nol, fungsi obyektif pasti mempunyai penyelesaian optimal berganda.

Dasar – Dasar Aljabar Matriks atau Linear

1.1 PERANAN ALJABAR MATRIKS

Alajabar matriks (1) memungkinkan untuk menyatakan suatu system persamaan yang rumit dalam suatu cara yang ringkas dan sederhana. (2) memberikan cara yang cepat untuk menentukan apakah suatu pemakaian terdapat pemecahan sebelum di coba, dan (3) memberikan sarana penyelesain system persamaan. Akan tetapi, aljabar matriks hanya dapat diterapkan pada system persamaan linear. Karena banyak hubungan ekonomi dapat di dekati dengan persamaan linear dan yang lain dapat dikonversikan menjadi hubungan linear, pembatasan ini umumnya tidak memberikan persoalan yang serius.

Contoh 1. untuk sebuah perusahaan dengan beberapa saluran distribusi yang menjual beberapa produk yang berbeda, matriks memberikan cara yang ringkas untuk mengendalikan persediaan.

Dengan membaca menyusun baris matriks, perusahaan deapat menentukan tingkat persediaan dalam setiap saluran distribusinya. Dengan mambaca menurun suatu kolom matriks, perusahaan dapat menentukan persediaan setiap jenis produksinya.

Contoh 2. suatu fungsi non linear, seperti fungsi produksi Cobb-Douglas yang umum

Q = A K ^α L^β

Dapat dengan mudah dikonversikan menjadi fungsi linear dangan mencari logaritma masing – masing ruas,sebagai berikut :

Log Q = log A + α log K +β log L

Dengan cara serupa, fungsi eksponensial dan fungsi pangkat yang lain dapat dengan mudah dikonversikan menjadi fungsi linear, dan kemudian di selesaikan dengan aljabar matriks.

1.2. DEVINISI DAN ISTILAH

Matriks adalah deretan bilangan, parameter atau variabel yang disusun segi empat, yang masing – masing mempunyai tempat yang ditata secara cermat dalam matriks. Bilangan – bilangan ( parameter atau variabel) disebut sebagai elemen matriks. Bilangan pada deretan vertkal disebut kolom. Banyaknya baris (m) dan kolom (n) menentukan dimensi matriks ( m x n ), yang di baca m kali n. bilangan baris selalu mendahului bilangan kolom. Dalam matriks bujur sangkar square matrix), jumlah baris sama dengan jumlah kolom ( yaitu m = n ). Jika matriks terdiri dari satu kolom tunggal sedemikian rupa sehingga dimensinya m x 1, matiks tersebut adalah vekor kolom. Jika matriks terdiri dari stu baris, dengan dimensi 1 x n, maka matriks tersebut adlah vector baris. Matriks yang mengkonversikan baris A menjadi kolm dan kolom A menjadi baris disebut transpose A dan diberi tanda A' (atau AT).

Contoh 3. diketahui

A adalah matriks umum terdiri dari 3 x 3 = 9 elemen, yang di susun dalam 3 baris dan 3 kolom. Jadi matriks tersebut adlah matriks bujur sangkar. Perhatikan bahwa tidak ada tanda baca yang memisahkan elemen – elemen suatu matrik. Elemen – elemen tersebut semuanya mempunyai subscript ganda; yang pertama menunjukan baris dimana elemen tersebut berada dan yang kedua menunjukan kolomnya. Penempatanya adalah tepat dalam matriks. Jadi α₂₃ adalah elemen yang berada pada baris kedua, kolom ketiga; α₃₂ adalah elemen yan berada pada baris ketiga, kolom kedua. Karena baris selalu mendahului kolom dalam notasi matriks, mungkin untuk membantu mengingat subscript tersebut dengan istilah BK atau beberapa cara yang lain untuk nmembantu mengingat.

B adalah matriks 2 x 3. elemen b₁₂ -nya adlah 9, elemen b₂₁ -nya adlah 4. C adalah vector kolom dengan dimensi (3 x 1). D adalah vector baris dengan dimensi (1 x 3).

Transpose A adalah

Dan transpose C adalah

1.3. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Penjumlahan (dan pengurangan) dua matriks A + B (atau A – B) mengharuskan matriks – matriks tersebut berdimensi sama. Setiap elemen matriks yang satu kemudian ditambahkan ke (dikurangkan dari) b11 dalam B;α₁₂ ke b₁₂, dan seterusnya.

Contoh 4. penjumlahan A + B di hitung dibawah ini, dengan mengetahui matriks A dan matriks B.

Selisih C – D, apabila diketahui matiks – matriks C dan D,diperoleh sebagai berikut ;

Contoh 5. misalkan pengiriman D dilakukan ke saluran – saluran distribusi perusahaan dalam contoh 1.berapa tingkat persediaan yang baru?.

Untuk mendapatkan tingkat persediaan yang baru, misalkan matriks mula – mula S dan selesaikan S + D. dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian dari masing – masing matriks tersebut,

1.4. PERKALIAN SKALAR

Dalam aljabar matriks, bilangan sederhana seperti 12,-2,0,07 disebut skalar. Perkalian matriks dengan bilangan atau scalar meliputi perkalian setiap elemen dari matriks tersebut dengan bilangan itu. Prosesnya disebut perkalian skalar (scalar multiplication)karena menaikan atau menurunkan matriks tersebut menurut besarnya skalar.

Contoh 6. hasil perkalian skalar k A, apabila diketahui k = 8 dan

Diperlihatkan dibawah ini,

1.5. PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vektor baris (A) dengan vektor kolom (B) mensyaratkan masing – masing vektor mempunyai jumlah elemen yang persis sama. Kemudian, hasilkalinya didapatkan dengan mengalikan elemen – elemen individual dari vektor baris dengan elemen – elemen yang beresesuaian dengan vektor kolom, dan menjumlahkan hasilnya :

AB = (a₁₁ x b₁₁) + (a₁₂ x b₂₁) + (a₁₃ x b₃₁) dan seterusnya.

Jadi hasil perkalian baris – kolom akan merupakan suatu bilangan tunggal atau scalar. Perkalian vektor baris kolom adlah penting sekali. Ini dipakai sebagai dasar untuk semua perkalian matriks.

Contoh 7. hasilkali AB dari vektor baris A dan vektor kolom B, apabila diketahui

di hitung sebagai berikut.

AB = 4(12) + 7(1) + 2(5) + 9(6) = 48 + 7 + 10 + 54 = 119

Hasilkali vektor – vektor berikut :

adalah

CD = (3 x 2) + (6 x 4) + (8 x 5) = 6 + 24 + 40 = 70

Perhatikan bahwa karena masing – masing pasangan vektor diatas mempunyai jumlah elemen yang sama, perkalian adalah mungkin.

Pembalikan susunan perkalian dalam salah satu vektor di atas dan dengan diperolehnya perkalian vektor kolom – baris (BA atau DC) akan menghasilkan jawaban yang sama sekali berbeda.

1.6. PERKALIAN MATRIKS

Perkalian dua matriks berdimensi (m x n)₁ dan (m x n)₂, mensyaratkan bahwa kedua matriks tersebut bersesuaian yaitu bahwa n₁ = m₂, atau jumlah kolom pada 1, matriks awal (lead matriks) saa dengan jumlah di bahbaris pada 2, matriks akhir (lag matriks). Setiap vektor baris pada matriks awal kemudian dikalikan dengan setiap vektor kolom dari matriks akhir, menurut kaidah untuk perkalian vektor baris dan vektor kolom yang di bahas dalam butir 1.5. hasilkali baris – kolom kemudian di pakai sebagai elemen dalam formasi dari matriks hasilkali sedemikian rupa, sehinga setiap elemen c_ij dari atriks hasilkali C adlah suatu skalar yang berasal dari perkalian baris ke i dari matriks awal dan kolom ke j dari matriks akhir. Hasilkali baris – kolom tersebut disebut hasilkali dalam (inner product).

Contoh 8. Diketahui

Suatu pengujian ringkas (cepat) untuk melihat adanya persesuaian (conformability), yang akan di terapkan sebelum melakukan setiap perkalian mmatriks, adlah dengan menata dua pasang dimensi tersebut dalam mana matriks – matriks tersebut akan dikalikan, kemudian dalam hati lingkarilah bilangan terakhir dari pasang pertama dan dan bilangan pertama dari pasang kedua. Jika mereka sama, dua matriks tersebut akan sesuai untuk perkalian dalam susunan yang diberikan, dan bilangan – bilangan di luar lingkaran akan menunjukan, dalam susunan yang benar, dimensi dari matriks hasil kali. Jadi untuk AB,

(2 x 3) = (3 x 2)

(2x 2)

matriks – matriks tersebut memenuhi syarat persesuaian dan dimensi dari matriks hasil kali AB adalah (2 x 2). Apabila dua matriks seperti AB adalah bersesuaian, AB dikatakan telah di tetapkan (defined)

untuk BC,

(3 x 2) = (2 x 3)

(3 x 3)

matriks – matriks tersebut adalah bersesuaian dan dimensi dari matriks hasil kali BC merupakan (3 x 3).

Untuk BC

(2 x 3) ≠ (2 x 3)

A dan C tidak bersesuaian untuk perkalian. Jadi AC tidak di tetapkan.

Contoh 9. setelah menentukan persesuaian AB dalam contoh 8, hasil kali dari dua matriks itu dapat di cari. Pertama, kalikan baris pertama matriks awal dengan kolom pertama matriks akhir untuk mecari elemen pertama d₁₁ matriks hasil kali D. kemudian kalikan baris pertama matriks awal dengan kolom kedua matriks akhiruntuk mendapatkan d₁₂. karena tidak ada lagi kolom yang tersisa dalam matriks akhir, bergeraklah ke baris kedua matriks awal. Kalikan baris kedua matriks awal dengan kolom pertama matriks akhir untuk mendapatkan d₁₂. akhirnya, kalikan baris kedua matriks awal dengan kolom kedua matriks akhir untuk mendapatkan d₂₂. jadi,

Hasil kali BC dihitung dibawah ini, dengan menggunakan metode yang sama :

Contoh 10. Dengan mengacu ke contoh 1, misalkan bahwa harga papan luncur adlah Rp 200,-, tongkat Rp 50,- , tali Rp 100,- dan pakaian ski Rp 150,-. Untuk mencari nilai persediaan (V) pada berbagai saluran distribusi, nyatakan harga tersebut sebagai sebuah vector kolom (P), dan kalikan S dengan P :

Matriks – matriks tersebut bersesuaian dan matriks hasil kalinya merupakan 4 x 1,karena

(4 x 4) = (4 x 1)

(4 x 1)

Jadi,

1.7. HUKUM KOMUTATIF, ASOSIATIF DAN DISTRIBUTIF DALAM ALJABAR MATRIKS

Penjumlahan matriks adalah komutatif (yaitu A + B = B + A), karena penjumlahan matriks hanya melibatkan penjumlahan elemen – elemen yang bersesuaian dari dua matriks, dan susunan penjumlahan tidak dipentingkan. Untuk alas an yang sama,penjumlahan matriks juga asosiatif, (A + B) + C = A + (B + C). hal yang sama berlaku untuk pengurangan matriks. Karena pengurangan matriksA – B dapat dirubah mebjadi penjumlahan matriks A + (-B), maka pengurangan matriks juga komutatif dan asosiatif.

Perkalian matriksm, dengan beberapa perkecualian, adalah tidak komutatif (yaitu AB ≠ BA). Akan tetapi, perkalian scalar adalah komutatif (yaitu kA = Ak). Jika terdapat tiga atau lebih matriks yang bersesuaian, yaitu X(a x b), Y(c x d),Z(e x f) dimana b = c dan d = e, hukum asosiatif akan berlaku selama matriks – matriks tersebut dikalikan dalam urutan persesuaian (conformability). Jadi, (XY)Z = X(YZ). Tunduk pada sarat yang sama ini, perkalian matriks juga distributive A(B + C) = AB + AC.

Contoh 11. Diketahui,

Untuk membuktikan bahwa penjumlahan dan pengurangan matriks adalah komutatif, buktikan bahwa (1) A + B = B + A dan (2) A – B = –B + A. Perhitungan tersebut diperlihatkan di bawah ini

(1).

(2).

Contoh 12. Diketahui,

Dapat di buktikan bahwa perkalian atriks tidak komutatif dengan membuktikan AB ≠ BA, sebagai berikut :

AB adalah sesuai, (2 x 3) = (3 x 2), AB akan menjadi 2 x 2

BA adalah bersesuaian (3 x 2) = (2 x 3), BA akan menjadi 3 x 2

karena itu AB ≠ BA.seringkali matriks – matriks tidak bersesuaian dalam dua arah.

Contoh 13. Diketahui,

Untuk membuktikan bahwa perkalian matriks adalah asosiatif, yaitu (AB)C = A(BC), perhitunganya adalah sebagai berikut :

terbukti

1.8. MATRIKS IDENTITAS DAN MATRIKS NULL

Matriks identitas I adalah suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai 1 untuk setiap elemen pada diagonal utama dari kiri ke kanan dan nol di setiap tempat yang lain. Lihat contoh 14. apabila subscript digunakan, seperti pada I_n,n menunjukan dimensi matriks (m x n). matriks identitas serupa dengan bilangan 1 dalam aljabar karea perkalian suatu matriks dengan matriks identitas tidak membawa perubahan terhadap matriks asal (yaitu AI = IA = A). perkalian suatu matriks identitas dengan dirinya sendiri meninggalkan matriks identitas tidak berubah : I x I = I²= I. setiap matriks utuk mana A = A' adalah matriks simetris (symmetric matrix). Matriks simetris untuk mana A x A = A,adalah matriks idempotent (idempotent matrix). Matriks identitas adalah simetri dan idempotent.

Matriks null terdiridari semuanya nol dan dapat berdimensi sembarang ; tidak perlu bujur sangkar. Penjumlahan atau pengurangan matriks null tidak membawa perubahan terhadap matriks asalnya, perkalian dengan matriks null menghasilkan matriks null.

Contoh 14. apabila diketahui,

Dapat dibuktikan bahwa : (1) perkalian dengan suatu matriks identitas tidak menimbulkan tambahan terhadap matriks asalnya, yaitu AI = A, (2) perkalian dengan suatu matriks null menghasilkan matriks null, yaitu BN = N dan (3) penjumlahan atau pengurangan matriks null tidak mengakibatkan matriks asalnya berubah, yaitu B + N = B. perhitungan – perhitungan tersebut diperlihatkan di bawah ini

(1).

terbukti

(2).

terbukti

(3).

terbukti

1.9. PERNYATAAN MATRIKS DARI SERANGKAIAN PERSAMAAN LINEAR

Aljabar matriks memungkinkan pengungkapan secara ringkas suatu sistem persamaan linear. Sebagai ilustrasai sederhana, perhatikan bahwa sistem persamaan linear

7x₁ + 3x₂ = 45

4x₁ + 5x₂ = 29

dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

AX = B

Dimana

dan

A adalah matriks koefisien (coefisien matrix),X adalah vektor penyelesaian (solution vector), dan B adalah vektor unsur konstanta (vector of constan terms). X dan B akan selalu berupa vektor kolom.

Contoh 15. untuk membuktikan bahwa AX = B dengan tepat menggambarkan sistem persamaanyang diberikan dalam seksi 1.9, dapatkan hasil kali AX. Perkalian adalah mungkin karena AX adalah bersesuaian, dan matriks hasil kali menjadi 2 x 1

(2 x 2) = (2 x 1)

(2 x 1)

jadi,

dan

terbukti

dari sini, meskipun penampilanya seperti itu, AX adalah vektor kolom (2 x 1) karena setiap baris terdiri dari suatu elemen tunggal yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut melalui penjumlahan.

Contoh 16. diketahui

8w +12x – 7y +2z = 139

3w +13x + 4y +9z = 242

untuk menyatakan sistem persamaan ini dalam notasi matrik,dalam hati balikan susunan perkalian matriks:

kemudian, dengan mengandaikan A = matriks koefisien, W = vektor kolom variabel, dan B = vektor kolom konstanta, sistem persamaan yang diketahui tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

A_(2x4)W_(4x1) =B_(2x1)

1.10. OPERASI BARIS

Operasi baris (row operation) berarti penerapan operasi aljabar yang sederhana pada baris- baris suatu matriks. Tanpa suatu perubahan dalam hubungan linear, tiga operasi barisdasar memungkinkan (1) setiap dua baris suatu matriks saling tukar, (2) setiap baris atau baris – baris dakalikan dengan suatu konstanta, asalkan konstanta tersebut tidak sama dengan nol, dan (3) setiap kelipatan suatu baris ditambahkan ke atau dikurangkan dari baris yang lain.

Contoh 17. operasi baris, yang tentunya sudah tidak asing lagi dari aljabar, diilustrasikan di bawah ini,dengan mengetahui

5x + 2y = 16

8x + 4y = 2n8

Tanpa suatu perubahan dalam hubungan linear,kita dapat

1. Saling menukar dua baris tersebut :

8x + 4y = 28

5x + 2y = 16

2. Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta, di sini 8x + 4y = 28 dengan 1/4, yang menghasilkan

2x + y = 7

5x + 2y = 16

3. Mengurangkan kelipatan satu baris dari yang lain, di sini 2(2x + y = 7) dari 5x + 2y = 16, yang menghasilkan

5x + 2y = 16

-4x – 2y = -14

x = 2

1.11. MATRIKS PERBESARAN (AUGMENTED)

Diketahui suatu system persamaan dalam bentuk matriks AX = B matriks perbesaran A/B adalah matriks koefisien A dengan vector kolom konstanta B, diletakan disampingnya, yang dipisahkan dengan suatu garis atau kisi. Jadi, untuk sistem persamaan dalam butir1.9,

Matriks perbesaran digunakan sebagai sarana penyelesaian system persamaan linear.

Contoh 18. matriks perbesaran A/B untuk

4x₁ + 5x₂+ 7x₃ = 42

2x₁ + 3x₂ + 8x₃ = 40

6x₁ + 4x₂ + x₃ = 18

Adalah

1.12. METODE GAUSS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR

Penggunaan metode eliminasi gauss dalam menyelesaikan persamaan linear semata – mata dengan menyatakan system persamaan tersebut sebagai suatu matriks perbesaran dan menerapkan operasi baris berulang – ulang pada matriks perbesaran sampai matriks koefisien A di sederhanakan menjadi suatu matriks identitas. Penyelesaian atas system persamaan kemudian dapat di baca dari elemen – elemen yang tinggal dalam vektor kolom B (lihat contoh 19). Untuk mengubsh matriks koefisien kedalam uatu matriks identitas, bergeraklah sepanjang sumbu utama. Pertam,a dapatkan 1 pada posisi a₁₁ dari matriks koefisien, kemudian gunakan operasi baris untuk mendapatkan nol disetiap tempat yang lain pada kolom pertama. Berikutnya dapatkan 1 pada 0posisi a₂₂ dan gunakan operasi baris untuk mendapatkan nol disetiap tempat yang lain pada kolom mendapatkan nol disetiap tempat yang lain pada kolom tersebut. Teruskan memperoleh 1 sepanjang diagonal utama dan kemudian rampungkan kolomnyasampai matriks identitas tersebut sempurna.

Contoh 19. metode eliminasi gauss di gunakan dibawah ini untuk mencari x₁ dan x₂ dalam sistem persamaan

2x₁ + 12x₂ = 40

8x₁ + 4x₂ = 28

pertama nyatakan persamaan tersebut dalam suatu matriks perbesaran