Rabu, 14 September 2011

KONSEP DASAR TEORI BARIS DAN DERET SERTA PENGGUNAANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI

BAGIAN  1

KONSEP DASAR TEORI BARIS DAN DERET SERTA PENGGUNAANNYA DALAM
BISNIS DAN EKONOMI


Diskripsi Mata Kuliah
Memberikan gambaran dan dasar-dasar pengertian serta pola pikir yang logis sehubungan dengan barisan dan deret bilangan yang tersusun secara teratur dengan perubahan-perubahannya yang tertentu. Selanjutnya memberikan tuntunan dalam menggunakan rumus-rumus yang telah diperoleh untuk menghitung nilai-nilai yang ingin diketahui dari baris dan deret yang ada, seperti menghitung kesamaan suatu nilai dari dua beris atau deret yang diketahui, mencari perubahan dari suatu baris atau suatu deret.www.wijayaputra.ac.id



Tutjuan Khusus
Menerapkan pengetahuan tentang baris dan deret tersebut dalam menghitung perasalahan-perasalahan bisnis dan ekonomi di antaranya masalah perkembangan usaha sejauh mana pertumbuhannya yang konstan dari waktu ke waktu, masalah nilai uang dalam hal pinjam-meminjam, investasi jangkan panjang yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga yang diasumsikan tetap dari waktu ke waktu, dan menghitung pertumbuhan penduduk di suatu daerah serta jumlah penduduknya pada suatu waktu tertentu.


A. TEORI BARIS DAN DERET

1. Pengertian Baris
Baris yang dimaksud adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya.
Penggolongan baris dapat didasarkan pada :
Jumlah suku yang membentuknya, dibedakan menjadi :
1.      Baris berhingga
2.      Baris tak berhingga
Pola perubahannya, sehingga dibedakan menjadi
1.      Baris Hitung
2.      Baris Ukur
3.      Baris Harmoni

2. Baris Hitung
Baris hitung yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku sebelumnya.
Contoh :
      2, 4, 6, 8, 10, 12 , ....................., Sn
      S1 (suku pertama)   = 2  S1 = a = 2
      S2 (suku kedua)      = 4  S2 = a + b = 2 + 2 = 4
      S3 (suku ketiga)      = 6  S3 = a + 2b = 2 + (2)2 = 6
      S4 (suku keempat)  = 8  S4 = a + 3b = 2 + (3)2 = 8
      Sn (suku ke n)   
Maka untuk suku ke n di peroleh rumus :
Sn = a + ( n – 1 ) b.
Dimana a = suku pertama, b = pembeda dan
n = suku ke n






Contoh soal :
Diberikan suku ke tiga dan suku ke tujuh masing-masing sebesar 150 dan 170. Carilah suku ke sepuluhnya dari baris hitung tersebut.
Penyelesaian
S3  = a + ( n – 1 ) b =è 150 = a + 2b
S7  = a + (n – 1 ) b  =è 170 = a + 6b
                                                                      -
                                        - 20 = - 4b
                                             b = -20 / -4 = 5
150 = a + 2b è 150 = a + 2.5 è 150 = a + 10
a = 150 – 10 è a = 140
S10 = a + (n – 1) b
      = 140 + (10 -1) 5 è 140 + 45
      = 185



3. Deret Hitung

Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan seterusnya.


Contoh : (dari contoh baris hitung di atas)
Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 , ..., Maka
Deret hitung : 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 +  ...
D1 = 2, 
D2 =  2 + 4 = 6,
D3 = 2 + 4 + 6 = 12
D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Dst
dimana Dn  =  n/2 ( a + Sn ) atau Dn = n/2 { 2a + ( n – 1 ) b}

Contoh Soal :
Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama yang bernilai 140. Beda antar suku 5. Hitunglah suku ke-10nya ? Berapakah Jumlah lima suku pertamanya ?.
Penyelesaian
a = 140,  b = 5
S10 = 140 + ( 10 – 1 ) 5 
      = 140 + 45 = 185
D5  = 5/2 ( 2.140 + ( 5 – 1 ) 5 )
      = 5/2 ( 280 + 20 ) = 5/2 ( 300 ) = 750             


4. Baris Ukur
Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku sengan suku sebelumnya
Contoh :
2, 6, 18, 54, 162, ...... Sn
S1 (suku pertama)   =  2
S2 (suku kedua)      =  6
S3 (suku ketiga)      =  18
S4 (suku keempat)  =  54
S5 (suku kelima)     =  162
Sn (suku ke n)          = dst.

Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3.
S1 (suku pertama)   = a = 2
S2 (suku kedua)      = ar = 2.3 = 6
S3 (suku ketiga)      =  ar2 = 2.32 = 2.9 = 18
S4 (suku keempat)  =  ar3 = 2.33 = 2.27 = 54
S5 (suku kelima)     =  ar4 = 2.34 = 2.8  = 162
Sn (suku ke n)   
Untuk menentukan suku ke n diperoleh rumus Sn = ar n-1   



5. Deret Ukur
Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris ukur di atas)
Baris Ukur  : 2, 6, 18, 54, 162, ....... maka
Deret Ukur  : 2 + 8 + 26 + 80 + 242 +  ...
D1 = 2    D2 = 2 + 6 = 8   D3 = 2 + 6 + 18 = 26 Dst.
Dn dapat dirumuskan :

               atau       


Contoh Soal :
Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah suku ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya.
Penyelesaian
a = 20,  r = 2
S6 = arn-1 = 20. 26-1 = 20. 25 = 20. 32 = 640
 =  = 1260


B. PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI

 

1.  Perkembangan Usaha

Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertubuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung.

Contoh  Soal
Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
Penyelesaian :
Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12.
            S12 = a + (n – 1) b
                  = 5.000 + (12 – 1) 300
                  = 5.000 + (11) 300
                  = 5.000 + 3.300
                  = 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik.
Jumlah keraik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
            D12 = n/2 (a + s12)
                   = 12/2 (5.000 + 8.300)
                   =  6 (13.300)
                   =  79.800



2. Teori Nilai Uang (bunga Majemuk)

Perluasan deret ukur digunakan dalam masalah bunga berbunga, masalah pinjam meminjam serta masalah investasi yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga dalam jangka waktu tertentu yang besarnya diasumsikan tetap dari waktu ke waktu. Misalkan suatu modal sebesar P0’ akan dibungakan per-satu tahun selama jangka waktu n tahun. Tingkat suku bunga yang berlaku yang berlaku adalah r % per-tahun, diasumsikan tetap dari tahun ke tahun selama n tahun. Sehingga menghitung modal awal tahun ke-n yang diperoleh melalui pembungaan setiap satu tahun dapat dirumuskan
Pn = po ( 1 + r ), atau           Pn = po ( 1 + r /m)n.m

Pn  = Modal pada tahun ke-n (di masa yang akan datang)
Po = Modal saat sekarang, saat t = 0
r   = Tingkat suku bungan per-tahun
n   = tahun ke      m   = periode per-tahun

Contoh Soal :
Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya setahun sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun. Bantulah nasabah itu untuk menghitung berapa jumlah uang yang akan diterima pada akhir tahun ke-5 ?
Penyelesaian
Pn = P0 ( 1 + r )n
     = 10.000.000 ( 1 + 0,11 )5  = 10.000.000 ( 1,11 ) 5
     = 10.000.000 (1,685058155)  = 16.850.581,55


3. Pertumbuhan Penduduk


Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Yang drumuskan :
Pn = P0.( 1 + i )n
Di mana Pn = populasi penduduk pada tahun basis (tahun ke-1)
              P0 =   populasi penduduk pada tahun ke- n
               i = persentase pertumbuhan penduduk per tahun & n = jumlah tahun

Contoh soal :
Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2005.
Penyelesaian :
Periode waktu : 2005 -1995 = 10 tahun
 Pn = P0.( 1 + i )n    = 100.000 ( 1 + 0,04 )10    
      = 100.000 ( 1,04 )10
      = 100.000 (  1,48024)   =  148.024
















Latihan Soal

1.      Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama bernilai 210. Beda antar suku 15. Hitunglah suku ke 10 nya ! Berapakah jumlah lima suku pertammanya ?

2.      Jika diketahui suku kedua besarnya 275 dan suku keenam besarnya 375. Berapa suku pertama baris hitung tersebut ? Berapakah nilai suku kesepuluhnya ? Berapa jumlah sepuluh suku pertamanya.

3.       Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya, dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh.
 a) Andaikata perkembangan  produksinya  konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ?
b) Berapa produksinya pada tahun kesebelas ?
c) Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok ?
d) Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?.

4.      Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. a) Berapa botol penurunan produksinya per tahun ?
b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup)
c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.

5.      Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? dan Berapa jumlah uang yang diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan.

6.      Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ?



























Jawaban latihan soal.

5. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali
            Pn  =  P0 (1 + r/m)n.m
                  =  10.000.000 (1 + 0,11/2)5.2
                  =  10.000.000 (1 + 0,055)10
                  =  10.000.000 (1,708144)
                  =  17.081.444,58
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.081.444,58.

      Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali
            Pn  =  P0 (1 + r/m)n.m
                  =  10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4
                  =  10.000.000 (1 + 0,0275)20
                  =  10.000.000 (1,720428431)
                  =  17.204.284,31
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.204.284,3.

6. Jawab persentase pertumbuhan penduduk :
            Pn              =  P0 (1 + i)n
            4,5            =  3,25 (1 + i)2013-2008
            4,5            =  3,25 (1 + i)5
            4,5/3,25    =  (1 + i)5
            1,3846      =  (1 + i)5
            1,38461/5  =  1 + i
             i               =  1,38461/5 - 1
             i               =  0,0673
             i               =  6,73 %
    Jadi persentase pertumbuhan penduduknya 6,73 %
   Jumlah penduduk pada tahun 2015.
   P2015  =  P2008 (1 + i)2015-2008
             =  3,25 (1 + 6,73%)7
             =  3,25 (1,577632)
             =  5,13
   Jadi jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 205 sebanyak 5,13 juta.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar