BAGIAN 3

 

 

KONSEP DASAR TEORI DIFERENSIAL DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI

Tujuan Umum

Mempelajari perubahan variabel terikat perubahan variabel bebasnya, di mana perubahan variabel bebasnya erupakan perubahan yang sangat kecil sekali. Juga dipelajari perbandingan antara perubahan variabel terikat tersebut dengan perubahan variabel bebasnya yang disebut “kuosien Difference”. Juga dipelajari kaidah-kaidah Diferensial serta jenis-jenis diferensial yang terdiri atas Diferensial Biasa, Diferensial Parsial, dan Diferensial berantai.

Tutjuan Khusus

1.      Mempelajari penerapan Diferensial Biasa seperti mencari laju pertumbuhan, fungsi arjinal, menghitung elastisitas dan enghitung optiasi, seperti maksimasi pendapatan atau miniasi biaya.

2.      Mepelajari Penerapan Diferensial Parsial, seperti enghitung Price Elasticity of Deand, Cross Elasticity of Demand, dan Income Elasticity of Demand. Menghitung Optimasi untuk dua variabel serta mmencari Marginal Rate of Technical Substitusi.

3.      Mempelajari Penerapan Diferensial Berantai seperti dalam fungsi produksi menghitung Marginal Physical Product of Capital, Marginal Physical Product of Labor, arginal Revenue Product of Capital dan Marginal Revenue Product of Labor.

PENERAPAN TEORI DIFERENSIAL

DALAM BISNIS DAN EKONOMI

B. PERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI

Penerapan Teori Diferensial Biasa

Teori Diferensial biasa diterapkan dalam berbagai masalah diantaranya untuk mencari :

I.                   Laju Pertumbuhan

II.                Optimasi (Nilai Maksimum dan Minimum)

III.             Elastis titik: Analisis Fungsi dan Grafis.

1. Laju Pertumbuhan (Fungsi Marginal)

Fungsi Marginal merupakan turunan pertama dari fungsi-fungsi total yang merupakan fungsi ekonomi. Fungsi Marginal menggambarkan laju pertumbuhan suatu variabel terikat akibat perubahan variabel bebasnya. Secara umum jika diberikan fungsi total sebagai berikut: y = f (x), maka diperolehlah fungsi Marginalnya dy/dx : laju perubahan y akibat perubahan x sebanyak 1 unit. Lebih jauh lagi :

Jika fungsi marginal itu hasilnya positif, dikatakan perubahan searah; artinya jika x bertambah 1 unit maka y akan bertambah pula atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan berkurang pula.

Jika fungsi marginal hasilnya negatif, maka dikatakan perubahannya tidak searah, yang artinya jika x bertambah 1 unit, maka y berkurang atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan bertambah.

Contoh soal : Marginal Pendapatan (Marginal Revenue)

1.      Fungsi  permintan diberikan P = 3Q+27, di mana P: Price (harga) dan Q: Output.Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapa nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 10 output, serta terangkan artinya.

Jawab : fungsi total pendapatan (Total Revenue)

R = P.Q

R = (3Q+27).Q

R = 3Q²+27Q

Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue)

MR = dR/dQ = 6Q + 27

Jika perusahan berproduksi pada tingkat output Q = 10 , maka

MR =  dR/dQ  = 6Q + 27 = 6(10) + 27 = 60 +27 = 87

Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 87, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan banyak menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 87

2.      Fungsi Permintaan diberikan Q = 6 - 5P, dimana P: Price (harga) dan Q: Penjualan.

Bagaimanakah Fungsi marginal pendapatanya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatanya jika perusahaan memproduksi baru 1 penjualan ,serta terangkan artinya.

Jawab:

Karena fungsi permintaanya Q = 6 - 5P, dimana harus diubah dahulu menjadi

P = 6/5 –1/5Q

Barulah mencari fungsi total pendapatan (Total Revenue):

R = P.Q

                  R = (6/5 – 1/5Q) Q                   R = 6/5Q-1/5Q²

Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue):

MR = dR/dQ = 6/5 - 2/5Q

Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 1, maka

MR= dR/dQ = 6/5 - 2/5.(1) = 6/5 - 2/5 = 4/5

artinya :untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 4/5,sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 4/5, sebaliknya untuk setiap penurunan   

3. Fungsi Pendapatan Rata-rata (Average Revenue) diberikan     AR = 80 – 4 Q

Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 7 output, serta terangkan artinya.

Jawab:

Fungsi total pendapatan ( Total Revenue) :

R =  AR . Q

R = (80 – 4 Q) Q

R = 80 Q – 4 Q²

Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) :

MR = dR/dQ = 80 - 8 Q

Jika perusahaan memproduksi pada tingkat output Q = 7, maka

MR = dR/dQ = 80 - 8(7) = 80 – 56 = 24

Artinya: untuk setiap peningkatan output Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 24, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 24.

4.Fungsi pendapatan rata-rata (Average Revenue) di berikan   AR = 30. e Q/2

Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 2 penjualan, serta terangkan artinya.

Jawab :

Funsi total pendapatan (Total Revenue) :

      R=AR.Q

      R=(30.e Q/2)Q

      R=30Q.e Q/2

Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) :

Dengan mengambil U = 30 Q. Sehingga U’=30

Dan   V = e Q/2 Sehingga V’=1/2.e Q/2

Maka MR=   dR/dQ = U’ V+U V’

           = 30.e Q/2+30 Q.1/2.e Q/2

 = 30.e Q/2+15 Q. e Q/2

 = e Q/2(30+15 Q)

Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 2

Maka MR = dR/dQ = e Q/2 ( 30+15 Q) = e 2/2 ( 30+15.2) = 60 e

Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang di jual 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 60 e, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 60 e.

Contoh soal: Marginal Biaya (Marginal Cost)

3.      Fungsi Total Biaya suatu perusahaan dinyatakan sebagai berikut:

C = Q³ - 4Q² + 10Q + 75

Bagaimanakah fungsi marginal biayanya (Marginal cost) dan berapakah nilai marginal biaya tersebut jika perusahaan memproduksi 2 penjualan, serta terangkan arti.

Jawab:

Fungsi total biaya (total biaya):

C = Q³ - 4Q² + 10Q + 75

Fungsi Marginal Biaya (marginal cost):

C’ = 3Q² - 8Q + 10

Jika perusahaan berproduksi pada tingkat penjualan Q = 2, maka

MC = C’= 3Q² - 8Q + 10 = 3(2)² - 8(2) + 10 = 12 – 16 + 10 = 6

Artinya: Untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan biaya sebesar 6, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan biaya sebesar 6.

Optimasi Satu Variabel

(Nilai Ekstrim Maksimum atau Minimum)

Dalam masalah optimasi, ada dua pertanyaan yang senantiasa diajukan. Misalkan untuk fungsi dengan satu variabel  y= f (x), permasalahannya:

i.        Berapakah x yang akan memberikan  y  optimum? Jika itu telah terjawab, maka pertanyaan selanjutnya baru bisa dijawab yaitu:

ii.      Berapakah  y  yang optimum tersebut?

Untuk menjawab pertanyaan pertama, langkah-langkahnya dijelaskan dibawah ini:

Untuk fungsi yang mengandung satu variabel  y= f(x)

 

 

Contoh: memaksimasi total pendapatan (total revenue)

1.      Harga jual barang  P = - 2Q + 16, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum.

Jawab:

Fungsi total pendapatan:

P  =  - 2Q + 16

R =  P.Q = (- 2Q + 16) Q

R =  - 2Q² + 16Q

Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi total pendapatan kemudian dibuat = 0

R’  = - 4Q + 16 = 0

4Q = 16 

  Q = 4

Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 4 maka akan diperoleh total pendapatan maksimum, maka lakukanlah langkah kedua yaitu mencari turunan kedua fungsi total pendapatan:

R” = - 4

Ternyata R” = - 4 < 0 sehingga diperoleh nilai maksimum

Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum yaitu sebanyak 4.

Total pendapatan maksimumnya:

R = - 2Q² + 16Q

R = - 2(4)² + 16(4)

R = 32

Jadi ketika menjual produk sebanyak 4, maka akan diperoleh total pendapatan maksimum sebesar 32.

Contoh soal: Memaksimasi Marginal Pendapatan (marginal revenue)

2.            Harga jual barang P = 16 - 2Q, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatan maksimum. Berapakah marginal pendapatan maksimum tersebut?

Jawab:

Fungsi permintaan:                                          P = 16 - 2Q

Fungsi total pendapatan:                                 R = P.Q = (16 - 2Q) Q

                                                                         = 16Q – 2Q²

Fungsi marginal pendapatan:                          MR   = 16Q - 2Q²

Turunan pertama:                                            MR’  = 16 - 4Q = 0

16 = 4Q

Q = 4

Turunan kedua:                                               MR” = - 4 < 0

Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatan maksimum sebanyak 4.

Marginal pendapatan maksimumnya: MR = 16Q - 2Q²

= 16(4) - 2(4)²

= 48

contoh soal: Meminimumkan Total Biaya (Total Cost)

3.      Biaya total dinyatakan dengan C(Cost) = 5Q² -  1000Q + 85000

Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total biaya minimum?

Berapakah total biaya minimum tersebut?

Jawab:

C = 5Q² - 1000Q + 85000

C’= 10Q – 1000 = 0

10Q = 1000

Q = 100

C” = 10 > 0

Jadi total biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 100 unit.

Total biaya minimumnya sebesar:

C = 5Q² - 1000Q + 85000

C = 5(100)² - 1000(100) + 85000

C = 35000

Jadi total biaya minimumnya sebesar: 35000

Contoh soal: Meminimasi Marginal Biaya (Marginal Cost)

4.            Biaya total dinyatakan dengan C (Cost) = Q³ -90Q² + 2800Q + 56500

Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan marginal biaya minimum?

Berapakah marginal biaya minimum tersebut?

Jawab:

Fungsi total biaya: C  = Q³ - 90Q² + 2800Q + 56500

Fungsi marginal biaya: MC = 3Q² - 180Q + 2800

Turunan pertama:                    MC’= 6Q – 180 = 0

6Q = 180

Q = 30

Turunan kedua:                       MR” = 6 > 0

Jadi output yang harus diproduksi agar diperoleh marginal biaya minimum sebanyak 30.

Marginal biaya minimum:   MC = 3Q² - 180Q + 2800

                                                                       = 3(30)² - 180(30) + 2800

                                                                           = 100

Jadi marginal biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 30 unit:100

Contoh soal : Memaksimasi laba / keuntungan / provit

5.            Di berikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing-masing sebagai berikut:

P = 1000 - 2Q Dan C = Q³ - 59Q² + 1315Q + 2000

Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh laba yang maksimum ? Berapakah laba maksimum tersebut ?

Jawab:

Fungsi pendapatan:  R = P.Q

R = (1000 - 2Q).Q

R = 1000 Q - 2 Q²

Fungsi biaya: C = Q³ - 59Q² +1315Q + 2000

Fungsi laba:   Laba = Pendapatan – biaya

Laba = (1000Q - 2Q²) - (Q³ - 59Q² + 1315Q + 2000)

Laba = - Q³ + 57Q² - 315Q - 2000

Turunan pertama:     Laba = -3Q² + 114Q - 315

          = Q² - 38Q + 105

          = (Q - 3) (Q - 35) = 0

     Q₁ = 3 Dan Q₂ = 35

Turunan kedua:                    Laba” = - 6Q + 114

Untuk Q₁ = 3, maka turunan ke dua = - 6(3) + 114 = 96 > 0

Berarti jika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum.

Untuk Q₂ = 35, maka turunan ke dua = - 6(35) + 114 = - 96 <  0

Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum.

Laba maksimum nya sebesar :

Laba     = - Q³ + 57Q² - 315Q - 2000

             = - (35)³ + 57(35)² - 315(35) - 2000

             = 13925

Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba maksimum sebanyak : 13925

Contoh soal: Memaksimasi Penerimaan Pajak

Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang di produksi dan di jual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan di berlakukannya sehingga akan di peroleh pajak maksimum. Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q* di mana t: tarif pajak yang di kenakan pemerintah dan Q*= Jumlah output yang di produksi dan di jual pengusaha sehingga di peroleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak.

Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah:

            Laba = pendapatan – (biaya + pajak)

   = R – (C+T),       R: Pendapatan

   = R – C – T         C: Biaya

   = R – C – t Q       T: Pajak 

        Q :Tingkat output yang di produksi dan di jual oleh  pengusaha, yang memberikan laba maksimum setelah mempertimbangkan adanya pajak penjualan dan pemerintah.

6.            Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut :

R = 15Q - 2Q²  Dan  C = 3Q

Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum ? Berapakah total pajak maksimum yang di peroleh ?

Jawab:

Dari sudut pandang pengusaha:

Laba  = R – C – t Q

= 15 Q – 2 Q² – 3Q – t Q

= -2 Q² + 12Q – t Q

Turunan pertama:  Laba’ = - 4Q + 12 – t = 0

12 – t = 2Q

2Q     = 12 - t

Q*     = 12 - t

                4

Q*     = b – ¼ t

Turunan ke dua:    Laba   = - 4 < 0

Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 3 – ¼ t, pengusaha akan memperoleh laba maksimum.

Dari sudut pandang pemerintah:

Pajak:  T =t (3 – ¼ t)

=3t – 1/4 t²

Turunan pertama: T₁ = 3 – ½ t  = 0

                              T = 6

Turunan ke dua : T” = -½

Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar: 6

Karena Q* = 3 ¼ t = 3 – 6/4 (6) = 3 – 1,5 = 1,5

Maka total pajak maksimum: T = t . Q* = 1,5 = 9

Jadi total pajak yang yang di terima pemerintah sebesar: 9

Contoh soal:

7.            Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk di nyatakan sebagai berikut:

R = 360 Q – 10,5 Q² Dan C = 100 Q – 4 Q²

Berapakah produk harus di buat dan di jual perusahaan agar di peroleh laba maksimum?

Berapakah laba maksimum tersebut?

Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang maksimum, berapakah tarif pajak yang harus di kenakan pemerintah kepada perusahaan tersebut?

Berapakah total pajak maksimum yang di dapat pemerintah?

Berapakah laba maksimum yang di terima perusahaan setelah di kenakan pajak ?

Jawab:

Dari sudut pandang pengusaha:

             Laba  = R – C – t Q

= 360 Q – 10,5 Q² – (100 Q – 4 Q²) – t Q

= 360 Q – 10,5 Q² – 100 Q + 4 Q² – t Q

= 260 Q – 6,5 Q² – t Q

Turunan pertama:   Laba’   = 260 – 13 Q – t = 0

                               260 – t  = 13 Q

                                        Q = 260 – t

                                                   13

                                       Q*= 20 – 1 t

                                                        13

Turunan ke dua :     Laba’’ = - 13 < 0

Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 20 – 1/ 13 t, pengusaha akan memperoleh laba maksimum.

Dari sudut pandang pemerintah:

Pajak:   T   =  t Q*

                   =  t (20 – 1/13 t)

                   = 20 t – 1/3 t 2                                       

Turunan pertama :  T’  = 20 – 2/13 t = 0

20     =  2/13 t

t    = 130

Turunan ke dua    :  T’’ = - 2/13

Jadi taruf pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar : 130

Karena Q2   = 20 – 1 t

                                13

                     = 20 – 1 (130)

                                13

                     = 20 – 10

                 = 10

Maka

Total pajak maksimum:

        T = t . Q*

           = 130 . 10

           = 1300

Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar 1300.

Laba maksimum yang di terima oleh pemerintah besarnya:

Laba = 260 Q – 6,5Q² – t Q

         = 260 (10) – 6,5(10)² – (130)(10)

         = 2600 – 65 – 1300

         = 1235

Jadi pemerintah menerima laba maksimum sebesar 1235

Contoh soal : Meminimasi Total Biaya Persediaan

Dalam hal persediaan, manajemen perusahaan senantiasa di perhadapkan kepada permasalahan yaitu jika jumlah persediaan bahan mentah maupun persediaan barang jadi di perhitungkan banyak, hal itu berarti menimbulkan biaya penyimpanan. Akan tetapi, sebaliknya jika persediaan bahan mentah di perhitungkan sedikit saja, maka akan ada resiko yaitu menimbulkan hambatan dalam proses produksi. Demikian pula jika persediaan barang jadi di perhitungkan sedikit maka akanmenimbulkan keluhan pada konsumen akibat kelangkaan barang (permasalahan dalam pemasaran). Jika kelangkaan barang tersebut terjadi berlarut-larut, maka pada akhirnya para konsumen akan mencoba untuk menutup kebutuhannya dengan cara melirik produk dari pesaing. Hal tersebut kemudian berdampak dapat mengakibatkan perusahaan yang bersangkutan kehilangan pelanggan, kehilangan pangsa pasarnya. Perusahaan tersebut, untuk kemudian akan sangat sulit jika berusaha untuk mencoba mengembalikan pangsa pasarnya kembali karena berhubungan dengan kepercayaan pelanggan serta di butuhkan investasi yang sangat besar misalkan untuk biaya pemasarannya (periklanannya)

Biaya- biaya yang ada hubungan dengan masalah persediaan, di antaranya:

1.      biaya pemesanan,

2.      biaya penyimpanan,

3.      biaya yang di timbulkan akibat kekurangan persediaan sehingga menghambat proses produksi atau pemasaran.

Model yang akan di bahas dalam buku ini yaitu: model pengendalian persediaan dengan kedatangan berkala (batch arrival model). Model pengendalian persediaan dengan kedatangan berkala dalam model ini di asumsikan bahwa :

1.      Jumlah kebutuhan barang, yang berarti jumlah pemesanan barang, dalam suatu periode waktu tertentu di ketahui jumlahnya tetap dari tiap-tiap periode waktu.

2.      biaya pemesanan tidak bergantung pada jumlah barang.

3.      tidak terjadi kekurangan persediaan sehingga tidak ada biaya yang di timbulkan akibat kekurangan persediaan.

4.      sub-periode kedatangan panjangnya tetap.

Pola kedatangan barang persediaan digambarkan seperti gambar berikut ini:

Persediaan ( Q )

 

                           Q/2                                                                              Jumlah Rata-rata Persediaan

                                                                                                                                       Waktu

D: kebutuhan jumlah barang per periode waktu yang kemudian dibagi sama besar menjadi beberapa kali pemesanan

Q: jumlah pemesanan per sub-periode waktu

C: biaya total persediaan

C: biaya pemesanan setiap kali memesan

C₂: biaya penyimpanan per-periode waktu

Masalahnya adalah berapa unit barang yang harus dipesan setiap kali pemesanan (Q) agar biaya total persediaan (C) minimum. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka akan dihitung total biaya pemesanan dan total biaya penyimpanan sebagai berikut:

Total biaya pemesanan:

Misalakan dibutuhkan 100 kg yang akan dipesan sebanyak 25 kg, maka D = 100 dan Q = 25 sehingga setiap periode waktu akan ada kedatangan akibat pemesanan sebanyak D/Q dengan biaya total pemesanan: (D/Q) C₁.

Total biaya penyimpanan:

Rata-rata sepanjang periode waktu terdapat Q/2 persediaan sehingga biaya total penyimpanan per periode waktu: (Q/2) C₂

Jadi total biaya persediaan = total biaya pemesanan + total biaya penyimpanan

                        C =  C_{1 +}  C₂

Yang menjadi permasalahan adalah berapakah jumlah unit atau barang yang harus dipesan agar dapat diperoleh total biaya persediaan yang minimum? Untuk menjawab permasalahan tersebut, perlu dicari: jumlah produk yang harus dipesan setiap kali pemesanan sehingga diperoleh total biaya persediaan yang minimum:

Total biaya persediaan: C =  C_{1 +}  C₂

                                                        = D.Q¹ _. C₁.C₂

            Turunan pertama:           C′  = D.C₁.(-1) .Q^-2 + ½ C_{2                   = 0} 

                                                            –D.C₁  + ½ C_{2                                                 = 0}

                                                               Q² 

                                                                                                 

                                                                                                ½ C_{2     =}  –D.C₁

                                                                                                                  Q²

                                                                                                                                Q^{2          =}  –D.C₁

                                                                                                                                                    ½ C₂

                                                                                                                                 Q           ⁼

Turunan kedua: C” = 2D.C₁ > 0 menjamin biaya persediaan minimum.                                             Q³

Contoh soal:

8.            seorang penjaja kue kering memerlukan tepung terigu sebanyak 100 kg setiap bulan. Biaya pemesanan setiap kali memesan sebesar Rp. 2500 per-pemesanan, sedangkan biaya penyimpanannya Rp. 50 per-minggu.

Berapakah kg yang harus dipesan setiap kali memesan?

Berapa kali pemesanan harus dilakukan dalam satu bulan?

Berapakah total biaya persediaan minimumnya?

Jawab:

Jika diketahui bahwa:

D  : Jumlah total pemesanan per-bulan:100 kg

C₁: Biaya pemesanan: Rp. 2500

C₂: Biaya penyimpanan: Rp. 50 per-minggu = Rp 200 per-bulan.

Jumlah yang harus dipesan:

Q            ⁼

 Q   =

 Q = 50

Jadi setiap kali memesan akan dipesan sebanyak 50 kg. Dalam waktu satu bulan dilakukan pemesanan sebanyak: D/Q = 100/50 =2 kali pemesanan.

Total biaya persediaan: C =  C_{1 +}  C₂

                                       C = 2500 + 200

                                                   C = 10.000

Jadi total biaya persediaan minimum : Rp 10.000

Elastisitas Titik: Analisis Fungsi dan Grafis.

Elastisitas mengukur derajat kepekaan variabel terikat akibat adanya perubahan variabel bebasnya.

Misal: y = f(x), maka seberapa jauh perubahan y akibat perubahab x di sebut ‘elastisitas y terhadap x’. Di tulis Eyx.

Analisis fungsi

Untuk menghitung besarnya elastisitas terhadap x, jika diketahui fungsinya, digunakan

Rumus: Eyx =   y/y                                   atau Eyx =    y/ x

                          x/x                                                                 y/x

untuk perubahan yang kecil rumusnya menjadi : Eyx=dy/dx

y/x

contoh soal: Elastisitas Permintaan

1.      Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut: Qd = 8 - 0,5 P

Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P₁ = 4, P₂ = 8, dan P₃ = 12

Jawab:

Untuk titik P₁ = 4 maka Qd = 8 - 0,5(4) = 8 – 2 = 6

Jadi E_{QDP1 = 4} = dQd/dP₁= -0,5 = -0,5  . 4 = -1

                          Qd / P1    6/4                6    3

Besar elastisitas permintaan dititik P₁ = 4 adalah -1/3

Jenis elastisitas permintaan dititik P₁ = 4 adalah =1/3 <1 (INELASTIS)

Untuk titik P₂ = 8 maka Qd = 8 - 0,5(8) = 8 – 4 = 4

Jadi E_{QDP2 = 8} = dQd/dP₂ = -0,5 = -0,5.8 = -1

                            Qd/P₁      4/8           4

Besar elastisitas permintaan dititik P₂ = 8 adalah -1

Jenis elastisitas permintaan dititik P₂ = 8 adalah  = 1 (UNITARY ELASTIS)

Untuk titik P3 = 12 maka Qd = 8 - 0,5(12) = 8 – 6 = 2

Jadi E_{qdP3 =12} = dQd/dP₃ = -0,5 = -0,5.12 = -3

                           Qd/P₃      2/12            2

Besar elastisitas permintaan dititik P₃ = 12 adalah -3

Jenis elastisitas permintaan dititik P₃ = 12 adalah E = -3 = 3 > 1 (ELASTIS)

Analisa Grafis: Elastisitas permintaan

Contoh soal:

4.      Untuk contoh soal di atas di mana fungsi permintaan:

Qd = 8 – 0,5 P, Grafik fungsinya:

   Qd                                                       E_QDP1=4  =    =   =

                                                               E_QDP2=8   =    =     = 1

                                                      E_QDP3=12 =    =   = 3

                                                               P

Contoh soal: Elastisitas penawaran

5.      Di berikan fungsi penawaran sebagai berikut: Qs = 6 + 2P

Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P₁ = 4, P₂ = 8, Dan P₃ = 12

Jawab:

Untuk titik P₁ = 4 Maka Qs = 6 + 2(4) = 6 + 8 = 14

Jadi E _QdP1 = 4 = dQs/Dp₁= + 2 = + 2 . 4  =  8  = 4

                              Qs/P₁    14/4          14     14    7

Besar elastisitas permintaan di titik P₁ = 4 adalah 7

Jenis elastisitas permintaan di titik P₁ = 4 adalah E =  +4/14 = 7 < 1 (INELASTIS)

Untuk titik P2 = 8 maka Qs = + 2 (8) = 6 + 16 = 22

Jadi E _QdP2 = 8 = dQs/Dp₂ = + 2 = + 2 . 8 = 16 = 8

                              Qs/P₂      22/8          22    22   11

Besar elastisitas permintaan di titik P₂ = 8 adalah 8/11

Jenis elastisitas permintaan di titik P₂ = 8 adalah E = 8/11 < 1 (INELASTIS)

Untuk titik P3 = 12 maka Qs = 6 + 2 (12) = 6 + 24 = 30

Jadi E _QdP3 = 12 = dQs/dP₃ = + 2    = + 2 . 12 = 24 = 4

                                Qs/P₃      30/12          30    30    5

Besar elastisitas permintaan di titik P₃ = 12 adalah = 4/5

Jenis elastisitas permintaan di titik P₃ = 12 adalah E = + 4/5 = 4/5 < 1 (INELASTIS)

Analisis Grafis: Elastisitas Penawaran

                        Contoh soal :

6.      Untuk contoh soal di atas di mana fungsi permintaan: Qd = 6 + 2P, grafik fungsinya:

                    

EQDP1=4  =    =   = EQDP2=8   =    =     = EQDP3=12 =    =   =

 QS                                                Qd= 6 + 2P

                        30                                                                      

                        22

                        14

                          6

                       

                                          4            8     12                             P

Penerapan Teori Diferensial Berantai

Teori diferensial berantai di terapkan dalam masalah produksi di antaranya untuk mencari:

I.                   Marginal Revenue Product Of Labour (MRP _L)*

II.                Marginal Revenue Product Of Capital (MRP _C)*

Contoh Soal: Marginal Revanue Product Of Labour (MRPL)

1.            Fungsi pendapatan dari suatu pabrik di berikan sebagai berikut:

R = - Q2 = 140 Q + 5 DI Mana Q adalah produksi, sedangkan fungsi produksinya Q = 4 L.

Jika jumlah tenaga kerja yang ada 10 orang:

n      Berapakah ‘Marginal Physical Product Of Labour (MRP _L)’ Dan jelaskan artinya!

n      Berapakah ‘Marginal Revenue Product Of Labour (MRP _L)’ Dan jelaskan artinya!

Jawab:

Fungsi Produksi:                                                Q  = 4 L  Sehingga

Marginal Physical product of labour (MRP _L):  = 4

Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 10 orang,

#       untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 4 unit; sebaliknya

#       untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 4 unit

Fungsi pendapatan:                 R = - Q² + 140Q + 5

´Marginal Revenue:                 = - 2Q + 140

 

Mencari Marginal Revenue Product of Labour (MRP_L):

= .

= (-2Q + 140) (4)

= -8Q + 560

Jadi Marginal Revenue Product of Labour (MRP_L)   = - 8Q + 560

=- 8 (4L) + 560

= - 32 L + 560

Untuk tenaga kerja sebanyak 10 orang, maka MRP_L = -32(10) + 560

= -320 + 560

= 240

Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 10 orang,

#       untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 240; sebaliknya

#       untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 240

contoh soal: marginal revenue product of capital (MRP_C)

2.                  Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan sebagai berikut: R = - 3000Q² + 410000Q + 7 di mana Q adalah produksi, sedangkan fungsi produksinya Q = 3C. Jika kapital yang dimiliki 1000:

·         Berapakah ‘Marginal Physical Product of Capital (MPP_C)´ dan jelaskan artinya!

·         Berapakah Marginal Revenue Product of Capital (MRP_C)´ dan jelaskan artinya!

Jawab:

Fungsi produksi:                                                Q = 3C sehingga

Marginal Physical Product of capital (MRP_C): Dq = 3dC

Artinya: Pada tingkat kapital sebanyak 1000,

#       untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 3 unit; sebaliknya

#       untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 3 unit.

Fungsi pendapatan:                 R = -3000Q² + 410000Q + 7           maka

Marginal revenue:                   = -6000Q + 410000

Mencari Marginal Revenue Product of Capital (MRPC):

= .

 = (-6000Q + 410000) (3)

 = -18000Q + 1230000000

Jadi marginal revenue product of capital (MRP_L)

= -18000Q+1230000000

= -18000(3C)+1230000000

= -54000C+1230000000

Untuk kapital sebanyak 1000 maka MRP_L

= -54000C+1230000000

= -54000(1000)+1230000000

= -54000000+1230000000

= 1176000000

Artinya: Pada tingkat kapital sebanyak 1000, maka

#       untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 1176000000 sebaliknya

#       untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 1176000000

Penerapan Teori Diferensial Parsial

Teori Diferensial Parsial diterapkan dalam berbagai masalah di antaranya untuk mencari:

I.             Elastisitas Parsial

II.  Optimasi 2 variabel:

Maksimasi pendapatan

Minimasi biaya

Maksimasi laba/keuntungan

III.  Mencari marginal rate technical substitution(MRTS)

Elastisitas Persial

Fungsi permintaan suatu barang tentu di tentukan oleh harga barang itu sendiri. Akan tetapi, juga ternyata di tentukan oleh harga barang lain tersebut merupakan barang substitusinya atau barang komplementernya. Di samping itu juga di tentuka oleh pendapatan. Misalnya ada dua barang yaitu barang 1 dan barang 2. fungsi permintaannya masing-masing dapat di tuliskan sebagai berikut:

          Qd₁ = f (P₁,P₂,Y) Dan Qd₂ = f (P₁,P₂,Y)

Fungsi permintaan barang 1 di pengaruhi oleh harga barangnya sendiri (P₁), harga barang lain (P₂), dan pendapatan (Y). Demikian pula dengan fungsi permintaan barang 2 di pengaruhi oleh harga barangnya sendiri (P₂), harga barang lain (P₁), dan besarnya pendapatan (Y).

Price elastisity of demand

Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan harga barangnya sendiri, yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd₁), akibat perubahan harga barangnya (P₁) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd₂) akibat perubahan harga barangnya (P₂):

Jadi       E _QdP1 =  dan  E _QdP2 =  

Cross Elasticity of demand

Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan harga barang lain, yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd₁) akibat perubahan harga barang lain (P₂) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd₂) akibat perubahan harga barang lain (P₁):

Jadi      E _QdP1 =  dan E_Qdp2 =  

Income Elasticity of Demand

Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan pendapatan:

Yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd₁) akibat perubahan pendapatan (Y) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd₂) akibat perubahan pendapatan (Y);

Jadi         E _QdP1 =  dan   E _QdP2 =

       

               

Hubungan antar-komoditi:

#    jika hasil dari perhitungan cross elasticity of demand positif, maka hubungan antar komoditi adalah substitusi; sedangkan

#    jika hasil dari perhitungan cross elasticity of demand negatif, maka hubungan antar komoditi adalah komplementer.

Contoh soal:

1.      Qdr = 2Pj - 30 Pr + 0,05 Y

Untuk Pj = 3000, Pr = 100, dan Y = 30000

Carilah:   -  Price Elasticity of Demand

                                 -  Cross Elasticity of Demand

                                 -  Income Elasticity of Demand

Bagaimanakah hubungan antara komoditi j dan r?

Jawab:

Price Elasticity of Demand:

E _QdPr =  ==  =

Cross Elasticity of Demand:

E _QdPr =  

Income Elasticity of Demand:

E _QdPr =  

Hubungan antara komoditi r dan j:

Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya positif, maka hubungan antara komoditi r dan komoditi j adalah Subtitusi.

        Optimasi Dua Variabel.

Fungsi yang mengandung 2 variabel misalnya dituliskan sebagai berikut:

Y=f(x1,x2)

Dalam setiap permasalahan optimasi, selalu memunculkan dua pertanyaan:

1.      Berapakah x1 dan x2 yang akan memberikan Y optimum (maksimum atau minimum)

2.      Berapakah Y optimumnya (maksimum atau minimum)

Untuk dapat menjawab pertanyaan pertama tersebut, maka diberikan langkah-langkahnya sebagai berikut:

Langkah-langkah dalam tabel tersebut membantu untuk memperoleh X1 dan X2 yang pasti akan menjamin bahwa Y optimal, jadi ke tiga langkah tersebut di atas hanyalah untuk menjawab pertanyaan pertama saja. Belum di peroleh berapa besar Y yang optimal tersebut. Untuk mendapatkan nilai Y yang optimal maka nilai X1 dan X2 harus di masukan dalam persamaan Y tersebut.untuk memberikan penjelasan yang lebih jelas, maka di bawah ini di berikan tiga contoh yang merupakan permasalahan optimal dua variabel, yaitu: maksimasi pendapatan, minimasi biaya, maksimasi laba.

Contoh soal: Maksimasi pendapatan

1.      Di berikan fungsi pendapatan : R = 160 Q₁ – 3 Q₁² – 2 Q₁ Q₂ – 2Q₂² + 120 Q₂ –180

Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh pendapatan maksimum? Berapakah pendapatan maksimumnya?

Jawab: jumlah produk 1 dan 2 yang harus di jual :

Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi pendapatan:

          R₁ = 160 – 6 Q₁ – 2 Q₂ = 0

          R₂ = 120 – 2 Q₁ – 4 Q₂ = 0

Untuk mencari Q₁ dan Q₂ menggunakan aturan determinan:

Fungsinya menjadi: 6 Q₁ – 2 Q₂ = - 160

                                2  Q₁ – 4 Q₂ = - 120

Maka

         Q_{1 =} =  = = = 20

         Q_{2 =} =  = = = 20

Langkah ke dua adalah mencari turunan keduannya:

         R11 = -6,  R12 = -2,  R21 = -2,  R22 = -4

Matriks hessiannya: H  =

Matriks pertamanya : D₁ =   < 0

Matriks keduannya  :  D₂ = H =

                                                 = (-6)(-4) – (-2)(-2)

                                                 = 24 – 4

                                                 = 20 > 0

karena D₁ < 0 dan D₂ > 0, maka definit negatif, menjamin pendapatan maksimum.

Pendapatan maksimumnya: R = 160Q₁ - 3Q₁² - 2Q₁Q₂ - 2Q₂² + 120Q₂ – 180

                                             R = 160(20) - 3(20)2 - 2(20)(20) -2(20)² +120(20) – 180

                                                                  R = 2620

Contoh soal: Minimasi biaya

2.  di berikan fungsi biaya sebagai berikut: C = 8Q₁² + 6Q₂² - 2Q₁Q₂ - 40Q₁ - 42Q₂ + 180

Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus di produksi sehingga di peroleh biaya minimum? Berapakah biaya minimumnya?

Jawab: jumlah produk 1 dan 2 yang harus di produksi:

Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi biaya:

         C₁ = 16Q₁ – 2Q₂ – 40 = 0

         C₂ = -2Q₁ + 12Q₂ – 42 = 0

Untuk mencari Q1 dan Q2 menggunakan aturan determinan:

Fungsinya menjadi: 16Q₁ – 2Q₂ = 40

                                 -2Q₁ + 12Q₂ = 42

Maka

         Q_{1 =} =  =  =  = 3

                               

         Q_{2 =} =  =  =  = 2,12 = 2 

        

Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya:

R₁₁=16,  R₁₂ = -2,  R₂₁ = -2,  R₂₂ = 12

   16        -2

Matriks Hessiannya: H =  

Matriks pertamanya : D₁ =   > 0

Matriks keduanya    : D2 = H = 16     -2

                                         

=(16) (12) – (-2) (-2)

=192 – 4

=188 > 0

Karena D₁ > 0 dan D₂ > 0, maka definit positif, menjamin biaya minimum.

Biaya minimumnya: C = 8Q₁² + 6Q₂²  - 2Q₁ Q₂ - 40Q₁ - 42Q₂ + 180

                                                       C = 8(3)² + 6(2)² - 2(3) (2)- 40 (3)- 42 (2)+180

 C = 60

Contoh soal: maksimasi laba / keuntungan

2.      Diberikan fungsi pendapatan dan fungsi biaya sebagai berikut:

R = 12 Q₁ + 8 Q₂ dan C = 3 Q₁² + 2 Q₂²

Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi dan dijual sehingga diperoleh laba maksimum? Berapakah laba maksimumnya?

Jawab:

Fungsi labanya:

Laba = R – C

= 12Q_1`+ 8Q₂ - ( 3 Q1² + 2 Q₂²)

= 12Q₁ + 8Q₂ - 3Q₁² - 2Q₂²

Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi laba:

Laba₁ = 12 – 6 Q₁ = 0,               maka Q₁ = 2

Laba₂ =   8 – 4 Q₂ = 0,               maka Q₂ = 2

Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya:

Laba₁₁ = - 6, Laba₁₂ = 0, Laba₂₂ = - 4

Matriks Hessiannya: H = Laba ₁₁   Laba ₁₂ =  -6    0

                                                               Laba ₂₁  Laba ₂₂       0   -4

Matriks pertamanya: D₁ =   < 0

Matriks keduanya   : D₂ = H = - 6       0

                                              = -(0)(0)

                                                                   = 24 – 0

                                              = 24 > 0

Karena D₁ < 0 dan D₂ > 0, maka definit negatif, menjamin laba maksimum.

Pendapatan maksimumnya: Laba = 12 Q₁+8 Q₂-3Q₁²-2Q₂²

                                                                  Laba = 12(2) +8(2)-3(2)²-2(2)²

                                                                  Laba = 24+16-12-8

                                                                  Laba = 20

7.3.1        Mencari Marginal Rate of Technical Substitution (MRTS)

                        Rumus: MRTS =

                        Jika diketahui Fungsi Produksi Q=f(K,L), maka mencari MRTS-nya dengan

                                    MRTS =  

Contoh soal:

1.      Di berikan fungsi produksi sebagai berikut:

Q = 0,2K 0,5 + 0,8L 0,5, Di mana K = 160 dan L = 40

Hitunglah MRTS-nya dan jelaskan artinya!

Jawab:

MRTS =

            =  

            =  

                              =

MRTS =

MRTS =  

MRTS =  – 4 . 2

MRTS =  – 8

2.      Diberikan fungsi produksi sebagai berikut: Q = 96 K 0,3 L 0,7

K = 210 dan L = 70

Hitunglah MRTS-nya dan jelaskan artinya!

Jawab:

MRTS =  

            =  

            =  

            =  

MRTS =

MRTS =

MRTS =  –  7

PENYELESAIAN SOAL-SOAL

Fungsi marginal pendapatan (marginal revenue)

1.      carilah fungsi marginal pendapatannya untuk fungsi P = 16 – Q

jawab:

fungsi permintaan: P = 16 – Q

fungsi pendapatan: R = P . Q

                                R = (16 – Q) . Q*

                                R = 16 Q – Q2

Maka fungsi marginal pendapatannya:    MR = 16 – 2Q

Maksimasi total pendapatan (Total Revenue)

2.      fungsi pendapatan rata-rata (Average Revenue) di berikan di bawah ini:

AR = 120 – 6 Q

#   Pada tingkat output berapakah yang memberikan pendapatan maksimum?

#   Berapakah pendapatan maksimum yang diperoleh?

#   Gambarkan fungsi pendapatan rata-rata dan marginal pendapatan pada sebuah grafik!

Jawab:

Fungsi pendapatan rata-rata:             AR   = 120 – 6 Q

Fungsi pendapatan:                            TR   = AR . Q

                                                                    = (120 – 6Q) . Q

                                                                    = 120 Q – 6 Q²

Turunan pertama fungsi pendapatan:  TR′ = 120 – 12Q = 0

                                                                        120 = 12Q

                                                                         Q = 10

Turunan kedua fungsi pendapatan:     TR″ = -12 < 0 menjamin pendapatan maksimum.

Jadi pada tingkat output Q = 10 menjamin pendapatan maksimum.

Pendapatan maksimum: TR maksimum = 120 Q – 6 Q²

                                          R maksimum = 120(10) – 6(10)²

                               = 1200 – 600

                               = 600

jadi pendapatan maksimumnya diperoleh sebesar 600

fungsi pendapatan rata-rata:         AR = 120 – 6 Q

fungsi marginal pendapatan:        TR′= MR = 120 – 12 Q

maka grafik dari kedua fungsi tersebut di gambarkan sebagai berikut:

AR.MR

 

120

                                             AR = 120 - 6Q

                     MR =120 – 12Q

                                          10              20                                        Q

Minimasi total biaya (Total Cost)

3.      Total biaya suatu perusahaan dinyatakan dalam fungsi sebagai berikut:

TC = Q3 – 4Q2 + 4Q +4

#  Pada output berapakah yang akan memberikan total biaya minimum?

#  Berapakah total biaya minimumnya?

Jawab:

Fungsi total biaya:                                     TC = Q³ – 4Q² + 4Q + 4

Turunan pertama fungsi total biaya: TC’= 3Q² – 8Q + 4 = 0

                                                                                    (3Q - 2)(Q - 2) = 0

                                                                                     3Q - 2 = 0,  Q₁ = 2/3

                                                                                     Q - 2 = 0, Q₂ = 2

Turunan kedua fungsi total biaya:  TC″= 6Q – 8

Untuk Q₁ = 2/3    maka    TC″= 6 (2/3) – 8 = - 4 < 0

Untuk Q₂ = 2       maka    TC″= 6 (2) – 8 = 4       > 0

Jadi output yang memberikan total biaya minimum adalah yang TC″>0, yaitu Q = 2.

Total biaya minimum:             TC = Q³ – 4Q² + 4Q + 4

                                                 TC = (2)³ – 4(2)² + 4(2) + 4 = 4

Maksimasi penerimaan total pajak

4. Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut:

                P = - 5Q + 100   dan    C = 5Q² – 30Q

Berapakah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum? Berapakah total pajak maksimum yang diperoleh pemerintah?

Jawab:

            Dari sudut pandang pengusaha:

            Laba  = P . Q – C – t Q

                      = -5Q + 100 – (5Q²-30Q) – tQ

                      = -5Q2 + 25Q – Tq + 100

Turunan pertama:

Laba′     = -10Q + 25 – t = 0

                              25 – t = 10Q

                                   Q* = 25 – t

                                               10

                                   Q* = 2,5 – 1/10 t

Turunan kedua:

Laba″    = -10 < 0

Jadi dengan memproduksi Q* = 2,5 – 1/10 t, pengusaha memperoleh laba maksimum.

Jadi sudut pandang pemerintah:

Pajak:    T  = t Q*

                   = t (2,5 – 1/10 t)

                   = 2,5 t – 1/10 t ²

turunan pertama:      T′ = 2,5 – 1/5 t = 0

                                                      2,5= 1/5 t

                                                        t  = 12,5

turunan kedua:          T″= -1/5 < 0

Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar:   t = 12,5

Karna Q*   = 2,5 – 1/10 t = 2,5 – 1/10(12,5) = 2,5 – 1,25 = 1,25

Maka total pajak maksimum: T = t . Q* = 12,5 . 1,25 = 15,625

Jadi total pajak yang diterima pemerintah sebesar: 15,625

Minimasi total biaya persediaan

5.   Seorang penjaja kue kering memerlukan tepung terigu sebanyak 1440 kg tiap bulan.biaya pemesanan tiap kali memesan sebesar Rp 6000 per pemesanan, sedangkan biaya penyimpanannya Rp 300 per minggu.

#   berapakah kg yang harus dipesan setiap kali memesan?

#   berapa kali pemesanan harus dilakukan dalam satu bulan?

#   berapakah total biaya persediaan minimumnya?

Jawab:

Jika diketahui bahwa:

D : jumlah total pemesanan per bulan : 1440 kg

C₁: biaya pemesanan : Rp 6000

C₂: biaya penyimpanan : Rp 300 per minggu = Rp 1200 per bulan

Jumlah yang harus di pesan :

                                 Q =

                                  Q =

                                  Q = 120

jadi setiap kali memesan akan dipesan sebanyak 120 kg.

Dalam waktu satu bulan dilakukan pemesanan sebanyak:

D/Q = 1440/120 = 12 kali pemesanan.

Total biaya persediaan:

                                     C =

                                     C =

                                      C = 144000

Jadi total biaya persediaan minimum: Rp 144000

Elastisitas persial

6.fungsi permintaan suatu komoditi diberikan sebagai berikut:

                      Qd = 16 – 0,4 P1 – 0,8 P2 + P3 + Y

Untuk P1 = 20,  P2 = 10,  P3 = 40,  dan Y = 40

#  carilah Price Elasticity of Demand dan jenisnya!

#  carilah Cross Eelasticity of Demand dan jenisnya!

#  carilah Income Elasticity of Demand dan jenisnya!

#  bagaimana hubungan antara komoditi-komoditi tersebut? Jelaskan!

Jawab:

                 Qd₁ = 16 – 0,4 P₁ – 0,8 P₂ + P₃ + Y

                 Qd₁ = 16 – 0,4(20) – 0,8(10) + 40 + 40

                 Qd₁ = 80

Price elasticity of demand:

                  E _Qd1P1 =

Cross elasticity of demand

                   E _Qd1P2 =

                   E _Qd1P3 =

Income elasticity of demand

                   E _Qd1Y   =

Hubungan antara komoditi 1 dan 2:

Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya negatif, maka hubumgan antara komoditi  1 dan komoditi  2 adalah subtitusi.

Hubungan antara komoditi  1 dan 3:

Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya positif , maka hubungan antara komoditi  1 dan komoditi 3 adalah subtitusi.

Marginal Physical and Revenue Product of Labour and Capital

7. fungsi produksi : Q = 1/2K ^½L = ^½, dengan K = 4, L = 16

#  hitunglah Marginal Physical Product of Labour!

#  hitunglah Marginal Physical Product of Capital!

Jika fungsi pendapatan R = 2Q, maka

#  hitunglah Marginal Physical Product of Labour!

#  hitunglah Marginal Physical Product of Capital!

jawab:

fungsi produksi:    Q = ½  K ^½ L ^½

                                                      Q = ½  4 ^½  16 ^½

                                                      Q = ½ . 8

                                                      Q = 4

Sehingga:

Marginal Physical Product of Labour (MPR_L):

 

 

Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 16 orang

#    untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 2 orang akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1 unit; sebaliknya

#    untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 2 orang akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1 unit

Marginal Physical Product of Capital (MRP_C):

= ½. K^½. 1/2L ^½-

= ¼ K ^1/2 L ^-1/2

=

Artinya : Pada tingkat investasi sebesar 4,

#       untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1/8 unit; sebaliknya

#       untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 1/8 unit

jika fungsi pendapatan:                 R = 2Q         sehingga

′ Marginal Revenue:                     

Mencari Marginal Revenue Product of Labour (MRP_L):

Jadi Marginal Revenue Product of Labour (MRP_L)=1

Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 16 orang,

#       untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 1; sebaliknya

#       untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 1.

Mencari Marginal Revenue Product of Capital (MRP_C):

= (2).(1/4)

= 1/4

Jadi Marginal Revenue Product of Capital (MRP_C)=1/4

Artinya: Pada tingkat investasi berjumlah 4 orang,

#       untuk setiap penambahan investasi sebanyak 4 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 1; sebaliknya

#       untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 4 orang akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 1.

Minimasi Biaya dari Dua Produk

8.      Fungsi biaya dari perusahaan yang menghasilkan dua produk sebagai berikut:

Biaya = 12 Q₁² + 4Q₂ ² – 8 Q₁ – 16 Q₂

#       Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi agar dapat diperoleh biaya minimum?

#       Berapakah biaya minimum yang diperoleh?

Jawab:

Fungsi Biayanya: 12 Q₁² + 4Q₂ ² – 8 Q₁ – 16 Q₂

Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi biaya:

Biaya₁ = 24 Q₁ – 8 = 0,        maka Q₁=3

Biaya₂ = 8 Q₂ – 16 = 0,        maka Q₂=2

Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya:

Biaya₁₁= 24 , Biaya₁₂= 0 , Biaya₂₁= 0 , Biaya₂₂= 8

Matriks Hessiannya : H=

Matriks pertamanya : D₁ =

                        Matriks keduanya    : D₂ = H=

                                             = (24) (8) - (0) (0)

                                             = 192 - 0

                                             = 192 > 0

Karena D₁> 0 dan D₂> 0, maka definit positif, menjamin biaya minimum.

Jadi perusahaan sebaiknya memproduksi produk pertama sebanyak 3 dan produk kedua sebanyak 2 agar berproduksi pada tingkat biaya minimum.

Biaya minimumnya:    Biaya = 12 Q₁² + 4Q₂²- 8Q ₁+ 16Q₂

                                                            Biaya = 12 (3)² + 4(2)²- 8(3) +16(2)

                                                            Biaya = 12.9 + 4.4 - 24-32

                                                            Biaya = 68

Dengan memproduksi produk pertama sebanyak 3 dan produk kedua sebanyak 2 maka akan berproduksi pada biaya minimum sebesar 68.

Maksimasi Laba/Keuntungan dari dua produk

9.      Fungsi Laba diberikan Laba = - 4Q₁² - 2Q₂² + 32Q₁+12Q₂

Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus diproduksi dan dijual sehingga dapat diperoleh laba maksimum?

Berapakah laba maksimum yang diperoleh?

Jawab:

Fungsi Labanya : - 4Q₁² - 2Q₂² + 32Q₁+12Q₂

Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi laba:

Laba₁ = - 8Q₁ + 32 = 0         makaQ₁ = 4

Laba₂ = - 4Q₂ +12  = 0         makaQ2 = 3

Langkah kedua adalah mencari turunan keduanya:

Laba₁₁= - 8 , laba₁₂= 0 , laba₂₁= 0 , laba₂₂= - 4

                        Matriks Hessiannya: H=

Matriks pertamanya: D₁ =

                        Matriks keduanya   : D₂  = H=

                                             = (-8) (-4) – (0) (0)

                                             = 32 > 0

Karena D₁ < 0 dan D₂ > 0, maka definit negatif, menjamin laba maksimum.

Jadi sebaiknya di produksikan produk pertama sebanyak 4 dan produk kedua sebanyak 3 agar diperoleh laba maksimum.

Laba maksimumnya:         Laba = - 4Q₁² - 2Q₂² + 32Q₁ + 12Q₂

                                           Laba = - 4(4)²-2(3)₂²+ 32(4) +12(3)

                                           Laba = - 4.16 - 2.9 + 32.4 + 12.3

                                           Laba =  82

Dengan memproduksikan produk pertama sebanyak 4 dan produk kedua sebanyak 3 maka akan diperoleh laba maksimum sebesar 82.

SELESAIKANLAH SOAL-SOAL LATIHAN DIBAWAH INI

1.      fungsi permintaan suatu komoditi diberikan sebagai berikut :

Qd₂ = 5200 + 4P₁ – 3P₂ – 8P₃ + 0,25 Y

Untuk P₁ = 200,  P₂ = 100,  P₃ = 500 dan Y = 5000

#  carilah Price Elasticity of Demand dan jenisnya!

#  carilah Cross Eelasticity of Demand dan jenisnya!

#  carilah Income Elasticity of Demand dan jenisnya!

#  bagaimana hubungan antara komoditi - komoditi tersebut? Jelaskan!

2.total pendapatan dan total biaya diberikan sebagai berikut:

R = 221Q + 5100 – 2Q²     dan     C = 125Q + 4100

#  berapakah tarif pajak yang sebaiknya dikenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum?

#  berapakah jumlah produk yang harus diproduksi dan dijual oleh perusahaan tersebut sehingga diperoleh laba maksimum setelah mempertimbangkan masalah pejak?

#  berapakah total pajak maksimum yang diperoleh pemerintah ?

#  berapakh laba maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut?

3.fungsi produksi: Q = 0,5 K² + 2KL + L2,

dengan K = 20  L = 40

#  hitunglah Marginal Physical Product of Labour!

#  hitunglah Marginal Physical Product of Capital!

Jika fungsi pendapatan R = 3Q, maka

#  hitunglah Marginal Physical Product of Labour!

#  hitunglah Marginal Physical Product of Capital!

4.diberikan fungsi total biaya suatu perusahaan sebagai berikut:

TC = 6Q₁²- 3Q₁ Q2 + 12Q₂ – 24 Q₁ – 10 Q₂

#  Pada tingkat output (Q₁ dan Q₂) berapakah yang akan membuat perusahaan      memperoleh total biaya minimum!

#    Berapakah total biaya minimum tersebut?

5.fungsi permintaan suatu komoditi diberikan pada gambar dibawah ini .

carilah nilai dan jenis elastisitas di masing-masing titik!

Q

                        (P₁,Q₁) = (12,9)

                       

                                                (P₂,Q_{2) =} (24,6)

                                                                  (P₃,Q₃) = (36,3)

         0                                                                   48             P